Y LA PELOTA
SE HIZO SATÉLITE

José Gallo

Gallo, José

Y la pelota se hizo satélite / José Gallo. - 1a ed . - Mar del Plata : EUDEM, 2016.

Libro digital, EPUB

Archivo Digital: descarga

ISBN 978-987-1921-72-0

1. Física. I. Título

CDD 796

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Primera edición: Octubre 2016

Este libro fue evaluado por el Dr. Miguel Hoyuelos

ISBN 978-987-1921-72-0

© 2016 José Gallo

© 2016, EUDEM

Editorial de la Universidad Nacional de Mar del Plata
3 de Febrero 2538

Corrector de estilo: Prof. Rodrigo Montenegro

Ilustraciones: Danilo Gallo

Imagen de tapa: Pablo Kersner

Maquetación: Carlos Galgano
en la asignatura "Taller de Bibliotecología : Libros Electrónicos",
agosto a diciembre de 2013.
Bajo la dirección de: María Carolina Rojas / WebFH reun

Disponible en:
EBOOKS - EUDEM
http://www.mdp.edu.ar/eudem

Agradecimientos

Mi profundo agradecimiento al Dr. Miguel Hoyuelos quien, con mucha generosidad, puso a mi disposición su saber y experiencia, realizando aportes que resultaron vitales para la producción de este trabajo. Así también mi especial agradecimiento a Nelsi Beradar, mi compañera de “viaje” que con mucho amor brindó su inestimable colaboración durante la elaboración del texto.

El fútbol es uno de los juegos más populares y maravillosos del mundo. Y como en todo quehacer humano, la física también está presente. Es intención de este trabajo revelar, a través de algunas situaciones propias del juego, conceptos físicos que, a la luz de la mirada habitual, no se hacen perceptibles y que cuyo conocimiento ayuda a una mejor comprensión de diferentes fenómenos que cotidianamente observamos o producimos. Debemos aclarar que, a diferencia de lo que sucede en el lenguaje cotidiano, en el lenguaje científico la palabra fenómeno no hace referencia a ningún hecho excepcional, sino por el contrario a situaciones que observamos o que generamos habitualmente, tan comunes como pueden ser la caída de un objeto o el caminar.

CAPÍTULO 1
PITAZO INICIAL

¿Por qué el jugador debe patear la pelota de fútbol para ponerla en movimiento?

Cuando el árbitro da el pitazo inicial para que el partido de fútbol comience, se debe poner en movimiento la pelota de fútbol. Sin embargo y para nuestra sorpresa, alguien puede decir “la pelota de fútbol ya está en movimiento”, aunque nosotros veamos que se encuentra quieta en el centro del campo. ¿Por qué esa persona puede afirmar que la pelota está en movimiento? Esta afirmación puede ser correcta porque el movimiento es relativo. ¿Qué significa esto? Cuando decimos que algo está quieto o en movimiento, siempre tomamos una referencia. En la vida cotidiana, para decir si algo está quieto o en movimiento las personas toman como referencia, naturalmente y sin pensarlo, la superficie del piso. Por esa razón causaría una gran sorpresa que alguien afirmara que la pelota, que para nuestros ojos está quieta en el centro del campo, se encuentra en movimiento. Sin embargo, esta persona estaría en lo cierto si está tomando como referencia un punto ubicado en el espacio. Por ejemplo, para un observador que mira desde una nave espacial, la pelota de fútbol se mueve, porque se desplaza junto con la Tierra que, como sabemos, rota y se traslada alrededor del Sol.

Para los jugadores la pelota está quieta. Sin embargo, para un observador que está fuera de la Tierra, el balón está en movimiento, porque la Tierra rota y se traslada.

Sin embargo, para visualizar la relatividad del movimiento, podemos tomar una situación más cercana. Cuando nos trasladamos en un colectivo, vemos que la persona que está sentada al lado nuestro está quieta. Pero, para una persona que está parada sobre la vereda, nuestro acompañante está en movimiento, porque a medida que transcurre el tiempo observa que se va alejando cada vez más. ¿Por qué ocurre esto? Nosotros vemos quieta a la persona que está sentada a nuestro lado porque ambos nos movemos con la misma velocidad con respecto a la superficie de la Tierra. Por el contrario, la velocidad de la persona que está sobre la vereda con respecto a la superficie de la Tierra es cero. Es decir, se encuentra en estado de reposo con respecto a ella, y por esa razón observa que nos alejamos en el colectivo.

Considerando la relatividad del movimiento, alertamos a los lectores que, cuando hablemos de estado de reposo o de movimiento en este texto, lo vamos a hacer tomando como referencia la superficie de la Tierra. En caso contrario, lo pondremos en aviso.

El fenómeno del movimiento está asociado a una magnitud física que suele formar parte del lenguaje cotidiano: la velocidad.

¿Qué es la velocidad?

La velocidad es una magnitud que nos informa qué tan aprisa se desplaza un móvil y en qué dirección y sentido. Utilizamos el término móvil para referirnos a cualquier objeto que se encuentra en movimiento. El término velocidad, como dijimos, no es ajeno al lenguaje cotidiano. Sin embargo, desde el punto de vista de la física, en la mayoría de los casos no es utilizado correctamente. Como por ejemplo cuando se utiliza el término velocidad para hacer referencia al número que marca la aguja del reloj del automóvil. En realidad, lo correcto sería hablar de rapidez. ¿Por qué razón? Porque el reloj de la mayoría de los automóviles, mal llamado velocímetro, nos informa la cantidad de kilómetros que recorrería ese automóvil si durante una hora tuviese ese mismo movimiento. Por ejemplo, si el reloj marca 100 kilómetros por hora, nos está informando que, si el automóvil continúa con ese movimiento, en una hora va a recorrer una distancia de 100 kilómetros. Pero no hace referencia ni a la dirección ni al sentido en que se desplaza el automóvil. Salvo los autos muy sofisticados, los relojes, mal llamados de velocidad, en realidad nos informan sobre la rapidez con que se desplaza el móvil. Para indicarnos la velocidad, además de darnos esta información, el reloj nos tendría que decir en qué dirección y sentido se desplaza el automóvil.

Entonces, ¿por qué no significan lo mismo rapidez y velocidad?

Antes de responder a esta pregunta, debemos decir que la rapidez y la velocidad son magnitudes. En términos físicos, magnitud se define como todo aquello que se puede medir, por ejemplo el tiempo, la temperatura, la velocidad, etc. Por el contrario, no son magnitudes los sentimientos como el amor, la tristeza, la felicidad, etc. Pero no todas las magnitudes tienen las mismas características. Algunas de ellas son magnitudes vectoriales y otras son magnitudes escalares. Y en esto radica la diferencia que existe entre la velocidad y la rapidez. La velocidad es una magnitud vectorial y la rapidez es una magnitud escalar.

¿Cuáles son las magnitudes escalares?

Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que se definen por el número y su unidad. Es decir, que no se representan con un vector porque no tienen dirección ni sentido. Como por ejemplo, la rapidez que, como dijimos, se suele confundir con la velocidad. La rapidez, como toda magnitud escalar, queda definida con un número y la unidad. Por ejemplo, si un automóvil se desplaza con una rapidez de 80 kilómetros por hora, significa que, si durante una hora se desplaza con el mismo movimiento, el automóvil va a recorrer 80 kilómetros. Aunque resulte obvio, vale aclarar que en este caso el número es 80 y la unidad es kilómetros por hora. Es importante resaltar que la unidad identifica la magnitud física a la cual hacemos referencia. Por ejemplo, si decimos 6 y no decimos la unidad, estamos diciendo un número. Ahora si decimos 6 horas, todos sabemos que nos estamos refiriendo a la magnitud tiempo. Si decimos 6 grados centígrados, todo el mundo sabe que nos estamos refiriendo a la magnitud temperatura. También es una magnitud escalar el tiempo. Si decimos que transcurrieron 2 horas, la magnitud ya queda definida. No es necesario decir ni la dirección ni el sentido porque el tiempo, como las otras magnitudes escalares, no lo poseen.

¿Cuáles son las magnitudes vectoriales?

Las magnitudes vectoriales son aquellas que quedan definidas por el número, la unidad, la dirección y el sentido. Y se llaman vectoriales porque se pueden representar con un vector. Por ejemplo, la velocidad. Como ya dijimos, cuando queremos dar la información de la velocidad, además de decir los kilómetros por hora que va a recorrer el automóvil si continúa con ese movimiento, debemos informar sobre la dirección y el sentido de desplazamiento del móvil. Si la pelota de fútbol se desplaza con una rapidez de 80 km./h., no va a ser lo mismo para el desarrollo del juego que si se dirige hacia el arco o hacia algún lateral del campo de juego. O si yo me desplazo con mi automóvil y el reloj del auto marca 100 kilómetros por hora, mi destino, obviamente, no va a ser el mismo si voy en una dirección y en un sentido, que si voy en otra dirección y en otro sentido.

¿Qué es un vector?

Un vector es un elemento matemático, semejante a una flecha. Se representa con un segmento y queda caracterizado por una dirección, dada por su orientación en el espacio, un sentido, determinado por la punta del vector (flecha), y una longitud o módulo, que siempre por definición es positivo. Esta herramienta geométrica se utiliza para representar magnitudes físicas denominadas vectoriales; como por ejemplo la fuerza, la velocidad, la aceleración, entre otras. La longitud del vector con el que vamos a representar la magnitud física va a depender de la escala utilizada. Por ejemplo, si queremos representar la velocidad de un automóvil que se desplaza a 100 km./h. en dirección norte y utilizamos una escala en la que cada centímetro de vector representa 50 km./h., el vector va a medir 2 cm. y va a estar orientado según la dirección y el sentido de su desplazamiento. Si queremos representar una fuerza de 100 kilogramos fuerza que fue aplicada sobre un objeto y utilizamos una escala en la que cada centímetro de vector representa 50 kilogramos fuerza, el vector va a medir 2 cm. y va a estar orientado según la dirección y el sentido de su aplicación.

Volviendo a la pregunta inicial:

¿Por qué el jugador debe patear la pelota de fútbol para que se ponga en movimiento?

La pelota de fútbol, como todas las cosas, tiene una masa y, como toda masa, ejerce una resistencia a cambiar su estado, en este caso de reposo.

¿Qué es la masa?

La masa se define como la cantidad de materia que compone un cuerpo.

¿Qué es la materia?

La materia es el componente fundamental del universo y, cuando es afectada por un campo gravitatorio, posee un peso. Si bien en la definición de materia que podemos encontrar en libros de ciencias o en diccionarios, se le asigna la característica de “ocupar un espacio”, no podemos asegurar que esto se cumpla en todos los casos, ya que algunos científicos creen que las partículas elementales son puntuales.

Pero también la masa puede definirse como una medida de la inercia, ya que se observa una relación directamente proporcional entre este fenómeno y la masa de un cuerpo. Por lo tanto, cuanto mayor sea la masa del cuerpo, más grande será la resistencia que va a oponer al cambio. Es decir, más inercia va a poseer y, entonces, mayor será la fuerza que le debemos aplicar para que comience a moverse. Pero, así como los cuerpos ejercen una resistencia a moverse cuando están quietos, también ejercen una resistencia a detenerse cuanto se encuentran en movimiento. Por esta razón, para detener un cuerpo también debe intervenir una fuerza que, en este caso, será opuesta al sentido del desplazamiento. Por lo tanto, cuando más masa tenga el cuerpo, mayor inercia va a tener y mayor fuerza se deberá aplicar para detenerlo, o, por el contrario, para ponerlo en movimiento.

Para ilustrar esto, consideremos las siguientes situaciones: Si queremos detener a un auto pequeño y a un camión que se desplazan a una misma velocidad, vamos a observar que, desde el momento que aplicamos los frenos, el vehículo más grande va a recorrer una mayor distancia, porque al tener mayor masa posee mayor inercia y por lo tanto mayor resistencia a cambiar su estado.

Si, por el contrario, deseamos poner en movimiento un auto pequeño y un camión, vamos a tener que realizar mayor fuerza sobre el camión. Esta regularidad de la naturaleza observada por Newton dio lugar al enunciado de una ley que llamó Ley de inercia y que dice lo siguiente: “Todo cuerpo tiende a permanecer en estado de reposo, o con un movimiento rectilíneo y uniforme, si la suma de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero”.

También se manifiesta lo enunciado en esta ley cuando estamos en un vehículo que está parado y de pronto se pone en marcha. Nuestro cuerpo se tira hacia atrás porque ejerce una resistencia a dejar su estado de reposo. Si, por el contrario, nos desplazamos en un medio de transporte y éste de pronto frena, nuestro cuerpo tenderá a seguir en movimiento y, si estamos parados y no estamos tomados de una baranda, nuestro cuerpo se desplazará hacia adelante porque tenderá a seguir en el estado en que se encontraba.

Por lo tanto, para que la pelota se ponga en movimiento, el jugador debe patearla ya que, para modificar su estado de reposo, debe intervenir una fuerza que tenga la intensidad suficiente para moverla.

¿Qué es una fuerza?

La fuerza se define como una acción que es capaz de modificar el estado de un cuerpo. Pero, ¿todas las fuerzas son iguales? Se reconocen cuatro fuerzas fundamentales: La fuerza gravitatoria, la fuerza electromagnética, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil.

La fuerza gravitatoria, que es la originada por la interacción entre las masas, es la más evidente. Todos observamos que, si soltamos un objeto, éste cae. Este fenómeno ocurre porque la fuerza gravitatoria de la Tierra atrae al objeto, como consecuencia de la interacción entre la masa del objeto y la masa de la Tierra. En realidad, se producen interacciones entre la masa de todos los cuerpos. Por ejemplo, entre una silla y un perro o entre una bicicleta y un caballo. Sin embargo, estas fuerzas de atracción son muy pequeñas y, por lo tanto, imperceptibles. Como vemos, las fuerzas gravitatorias son de carácter atractivo; es decir, son fuerzas que atraen. Y como solamente atraen y no son repulsivas, es decir no rechazan, se dice que poseen un solo signo. Este tipo de fuerzas tiene un alcance universal. Sin embargo, sus efectos son despreciables cuando se trata de partículas fundamentales; es decir, cuando se consideran a nivel atómico. Una dimensión de la realidad tan pequeña que para nuestros ojos resulta invisible.

Las fuerzas electromagnéticas son fuerzas que, a diferencia de las fuerzas gravitatorias, son atractivas y repulsivas, por lo que se le asignan dos signos, uno positivo y otro negativo. Las interacciones electromagnéticas son transmitidas por los fotones y son las que nos permiten, en la vida cotidiana por ejemplo, levantar los objetos con nuestras manos o empujar un carro.

Si bien se suele utilizar la palabra fuerza para hablar de la fuerza nuclear fuerte y fuerza nuclear débil, es mejor utilizar la palabra interacción. Las interacciones fuerte y débil son de muy corto alcance. Se manifiestan en escalas subatómicas, a distancias más pequeñas que un átomo, a través del intercambio de ciertos tipos de bosones, que es un tipo de partícula elemental. Para este tipo de interacciones que ocurren a nivel subatómico, no existen ecuaciones matemáticas, como por ejemplo la Ley de gravitación universal de Newton, que explica la interacción gravitatoria entre las masas de los objetos.

La interacción nuclear fuerte se manifiesta en un nivel de realidad que es invisible para nuestros ojos, como lo es el núcleo de un átomo. Es la responsable de que partículas tan pequeñas como los quarks se unan para formar hadrones. Ejemplo de éstos son los protones y neutrones que forman los núcleos de los átomos. Otro tipo de hadrones que forman son los mesones, partículas también invisibles para nuestros ojos. Estos nombres que suenan tan extraños para el lenguaje común son los que se les asignan a pequeñas partículas que han encontrado los científicos dentro del núcleo del átomo. Para visualizar cómo es esta dimensión de la realidad, imaginemos al núcleo del átomo como si fuera el cosmos. Con la diferencia de que, en lugar de haber distintos cuerpos celestes (planetas, cometas, galaxias, etc.), hay pequeñas partículas, muchas de las cuales aún siguen siendo desconocidas para el hombre.

Si bien, como ya dijimos, para poner la pelota en movimiento, el jugador debe ejercer sobre ella una fuerza, el movimiento que adquiera el balón va a depender de la intensidad de la fuerza, pero también de su tiempo de aplicación. Si el jugador ejerce sobre una pelota de fútbol una misma fuerza, suficiente para que se mueva, pero varía los tiempos de aplicación, el movimiento de la pelota en todos los casos va a ser diferente. Lo mismo sucedería si el tiempo de aplicación de la fuerza es el mismo, pero su intensidad es diferente. Este fenómeno está contemplado en la magnitud física denominada impulso.

¿Qué es el impulso?

El impulso es una magnitud física que se define como la acción de una fuerza sobre un cuerpo durante un determinado tiempo. Su intensidad tiene una relación directamente proporcional con la fuerza y con el tiempo de aplicación de la misma sobre un cuerpo. Por ejemplo, cuando empujamos una hamaca, mayor será el impulso que adquiera cuanto más tiempo se ejerza la fuerza sobre ella y/o cuanto mayor sea la intensidad de la fuerza que se ejerza. Por lo tanto, cuanto mayor sea la fuerza que ejerza el jugador sobre el balón al patearlo y/o mayor sea el tiempo de aplicación, mayor será el impulso que ésta adquiera y, por lo tanto, más lejos va a llegar.

Entonces, cuando el jugador patea la pelota de fútbol para ponerla en movimiento, ejerce sobre ella una fuerza durante un tiempo, confiriéndole de este modo un impulso que la provee de un movimiento y por lo tanto de una velocidad que, por ser la que da origen al desplazamiento, denominamos velocidad inicial.

¿Por qué un defensor “pasa de largo” si el delantero se frena de golpe?

La Ley de inercia también nos permite comprender este fenómeno. Una situación característica del juego es el desplazamiento de un delantero que lleva la pelota a una cierta velocidad y que es perseguido por un defensor para quitársela. Una acción que suelen realizar los delanteros es detener su carrera de manera imprevista, logrando de ese modo que el defensor, como se dice en la jerga futbolística, pase de largo; es decir que siga su trayectoria por un instante más. ¿Por qué sucede esto? El defensor no puede frenar de manera instantánea, ya que va a tener que realizar una fuerza en sentido contrario a su movimiento para vencer la inercia y detenerse y eso le llevará un tiempo. Los jugadores con mayor contextura física poseen mayor inercia y, por lo tanto, más dificultoso les resulta cambiar de dirección. Esto nos permite responder al siguiente interrogante: ¿Por qué los jugadores de menor contextura física suelen ser los más habilidosos?

La gambeta es una típica situación del juego. Cuando un jugador, como se dice en la jerga futbolística, amaga para un lugar, el jugador que lo marca, desplaza su cuerpo en esa dirección y luego, cuando el jugador que lleva la pelota, cambia bruscamente de dirección, el defensor, como se suele decir, queda mal parado. ¿Por qué ocurre esto? Para responder a esta pregunta, debemos remitirnos a la Primera ley de Newton o Ley de inercia. Si el defensor posee una gran contextura física, no puede cambiar de dirección tan fácilmente porque su masa es grande y, por lo tanto, su inercia es grande. Entonces, ejerce una mayor resistencia al cambio de dirección, facilitando de este modo la acción del jugador que lleva la pelota.

Por esta razón, la capacidad de gambetear, podemos asociarla, entre otras cosas, con la contextura del jugador; es decir, con su masa. Los jugadores de menor contextura física suelen ser los más aptos para realizar gambetas, ya que con más facilidad pueden cambiar bruscamente de dirección, debido a que su masa es pequeña y entonces tienen menor inercia. En el fútbol argentino, tenemos para citar muchos ejemplos de jugadores de pequeña contextura física y gran habilidad; entre ellos, Maradona, Messi, Saviola, Aimar, etc. Y por supuesto, hay miles de jugadores anónimos con estas características desparra-mados por los campos de juego del país.

Un consejo físico: Si están en un zoológico y los persigue un elefante que se escapó de su jaula, conviene que se desplacen en zigzag, ya que el animal por la gran masa que posee, tiene una inercia muy grande y va a tener dificultades para perseguirlos y así, seguramente podrán salvar su vida. Esta es una de las tantas razones por las cuales es conveniente tener algunos conocimientos básicos de física.

Los jugadores de menor contextura física tienen menor inercia y pueden cambiar de dirección más fácilmente. Por esta razón suelen ser más hábiles para gambetear.

¿Por qué un jugador de fútbol de pequeña contextura física puede alcanzar más rápidamente una alta velocidad?

Esta característica de los jugadores de pequeña talla también está relacionada con su masa. Aquellos jugadores que poseen una contextura física pequeña y, por lo tanto, una menor masa, van a alcanzar más rápidamente una alta velocidad que aquellos jugadores que poseen una gran contextura física. Esto se debe a que, al poseer una masa pequeña, la inercia es pequeña y, por lo tanto, ofrece una menor resistencia al movimiento que aquellos jugadores de gran contextura física. Si bien esta característica se relaciona, como ya vimos, con lo enunciado en la Ley de inercia, también se relaciona con otra regularidad descubierta por Newton en la naturaleza y que dio como resultado la llamada Segunda ley o Ley de masa.

La Ley de masa dice que la aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada sobre él, e inversamente proporcional a la masa que posee. Esto significa que, cuando la fuerza neta aplicada sobre el cuerpo es mayor, éste va a adquirir mayor aceleración y que, cuanto menos masa posea el cuerpo, mayor aceleración va a alcanzar. Por lo tanto, cuando un jugador de pequeña contextura física se quiere desplazar, va a necesitar una fuerza neta de menor intensidad que actúe sobre él. Para ejemplificar el fenómeno expresado en la Segunda ley de Newton, consideremos la siguiente situación: Tenemos una pelota de fútbol y una pelota de tenis que se encuentran sobre una misma superficie. Si sobre ambas se aplica una fuerza neta de igual intensidad, dirección y sentido, va a acelerar más la pelota de tenis porque posee menor masa que la pelota de fútbol. Por supuesto que este fenómeno también se relaciona con la Ley de inercia, ya que cuando la masa del jugador es mayor, mayor será la resistencia al cambio y, por lo tanto, menor será la aceleración positiva que adquiera.

Pero ¿quién ejerce sobre el jugador una fuerza para que pueda desplazarse? Para responder a esta pregunta debemos remitirnos a otra regularidad de la naturaleza descubierta por Newton que dio lugar a su Tercera ley, que llamó Ley de acción y reacción y que enuncia lo siguiente: “A toda acción se opone una reacción de igual dirección e igual magnitud, pero de sentido contrario”. Esto significa que cuando se ejerce una fuerza sobre una superficie, que se llama acción, la superficie reacciona sobre la superficie que generó la acción con una fuerza de igual dirección e intensidad, pero sentido contrario, que se llama reacción. Por esta razón, si nosotros pegamos un puñetazo muy fuerte sobre una pared, nos va a doler. Esto sucede porque la pared ejerce sobre nuestro puño una fuerza de igual intensidad a la fuerza que le aplicamos. Entonces, para que el jugador pueda desplazarse, debe ejercer sobre el campo de juego una fuerza con sus pies que tenga una intensidad suficiente para que la fuerza de reacción que ejerza el piso sobre sus pies genere su movimiento. Por lo tanto, cuanto mayor intensidad tenga la fuerza ejercida por el jugador sobre el campo de juego, mayor será la aceleración que va a desarrollar.

Debe destacarse que las fuerzas de acción como de reacción son el resultado de una misma interacción. Esto significa que si no hay fuerza de acción no va a existir una fuerza de reacción.

¿Qué es la aceleración?

El término aceleración es usado socialmente. En algunas oportunidades, correctamente y, en otras, no. Desde el punto de vista físico, la aceleración se define como el cambio de velocidad que sufre un móvil en un intervalo de tiempo. ¿Qué significa esto? Socialmente, la palabra aceleración se utiliza exclusivamente cuando se produce un aumento de velocidad. Pero en física también se habla de aceleración cuando se produce una disminución de velocidad. Para diferenciar ambas aceleraciones, se utilizan los signos más y menos. Por ejemplo, cuando un automóvil disminuye su velocidad, decimos que tuvo una aceleración negativa. Y cuando el automóvil aumenta su velocidad, decimos que tuvo una aceleración positiva. Si pensamos en una situación de un partido de fútbol, por ejemplo, cuando un jugador está quieto y de pronto se desplaza hacia algún lugar del campo de juego, la aceleración es positiva. Por el contrario, cuando el jugador de fútbol va corriendo y disminuye la velocidad, tiene una aceleración negativa.

CAPÍTULO 2
EL PASE FUE CORTO

¿Por qué se frenan los objetos?

Si bien a los filósofos de la Antigua Grecia se los suele asociar a temas que trata la filosofía contemporánea, como el ser, el alma, la ética, etc., por entonces los pensadores también se ocupaban de los fenómenos de la naturaleza, tales como el movimiento o el comportamiento de los cuerpos celestes. Tal es así que algunas de sus teorías perduraron por siglos, como la teoría sobre el movimiento enunciada por Aristóteles. En ella afirmaba que el estado natural de los cuerpos era el reposo y que, por lo tanto, para mantenerlos en movimiento, se debía aplicar una fuerza. Esta teoría dio lugar a que sus seguidores la utilizaran para formular un modelo de Universo, donde se afirmaba que la Tierra estaba quieta y era el centro del Universo y que el Sol, la Luna y el resto de los planetas giraban a su alrededor. Basaban esta teoría en que, según ellos, no existía ninguna fuerza capaz de mover a la Tierra. Por lo tanto, lo razonable era que estuviese en reposo. Esta teoría sobre el movimiento fue aceptada como válida durante casi dos mil años! Hasta que Galileo la refutó mediante un experimento. Construyó dos planos inclinados con ángulos opuestos, unidos con una base plana y, desde el extremo de uno de ellos, dejó caer una esfera. Observó que la bola, luego de deslizarse por la base plana ascendió, en el otro plano inclinado, hasta una cierta altura, que era menor a la altura desde la cual había sido dejada caer. A partir de esta observación experimental, Galileo concluyó que había “algo” que impedía a la esfera llegar a la misma altura desde la que había caído. Galileo fue reduciendo gradualmente la pendiente del segundo plano inclinado y observó que, para llegar al mismo nivel, debía recorrer mayor distancia. Entonces se preguntó qué sucedería si el segundo plano no estuviese inclinado y llegó a la conclusión de que, si se eliminara ese “algo” que la detenía, la bola se movería indefinidamente sin tener necesidad de aplicarle una fuerza. De este modo Galileo refutaba la teoría de Aristóteles, que afirmaba que era necesaria la existencia de una fuerza para que los objetos se movieran.

En la figura 1 la esfera en el plano inclinado llega hasta una altura menor de la que fue dejada caer porque, según Galileo, hay “algo” que le impide llegar hasta la misma altura. En la figura 2, según Galileo, la esfera se movería indefinidamente si se eliminara ese “algo” que la detiene.

Y ese “algo” que detuvo a la esfera de Galileo es una fuerza.

Pero, ¿quién ejerce esa fuerza?

Esa fuerza, que recibe el nombre de fuerza de rozamiento, es un fenómeno que siempre se produce cuando están en contacto medios sólidos, líquidos o gaseosos, ya sea estando en movimiento, o en estado de reposo.

Como vimos en el capítulo 1, para que la pelota se ponga en movimiento, se le debe aplicar una fuerza; de lo contrario, se mantendrá en estado de reposo, como lo expresa la Ley de inercia. Sin embargo, la fuerza aplicada deberá ser de una magnitud tal que supere a la fuerza de rozamiento, que se denomina estática cuando las superficies están quietas, como es el caso de la superficie de la pelota y del campo de juego antes de comenzar el partido; de lo contrario, no se moverá, como suele ocurrir en algunas oportunidades, cuando queremos desplazar un objeto. Ejercemos una fuerza que no supera la fuerza de rozamiento estática y entonces no se mueve. ¿Por qué sucede esto? Para que un cuerpo se mueva, debe actuar sobre él una fuerza neta. Es decir que todas las fuerzas aplicadas que actúan sobre el cuerpo deben dar como resultado un número mayor que cero. De lo contrario, el cuerpo seguirá en estado de reposo; es decir, quieto.

¿De qué depende la intensidad de la fuerza de rozamiento estática?

Depende de las características de las superficies en contacto y de la fuerza entre ellas. Sobre una superficie pulida es más fácil desplazar un objeto que sobre una superficie con irregularidades porque la fuerza de rozamiento generada es menor, como consecuencia de que la fricción entre las superficies es menor. Si el peso del objeto es mayor, también será mayor la fuerza de rozamiento que produce la superficie en la que está apoyada. Esto lo vemos claramente. Para mover un objeto más pesado, obviamente, debemos hacer más fuerza que para mover un objeto con menos peso.

Pero también este fenómeno frena la pelota. ¿Por qué la pelota de fútbol se frena?

Si bien, a simple vista, parece que no actuara nada durante el desplazamiento de la pelota de fútbol sobre el campo de juego, en realidad está actuando una fuerza en sentido contrario a su movimiento que lo va desacelerando, generada como consecuencia de la fricción entre su superficie y la superficie del piso. Esta fuerza, como dijimos, recibe el nombre de fuerza de rozamiento y su magnitud depende de las características de las superficies en contacto y de cuán apretadas estén entre sí. Por ejemplo, si desplazamos las palmas de nuestras manos una sobre la otra, la magnitud de la fuerza de rozamiento va a ser mayor cuanto más apretadas estén entre sí.

Por lo tanto, el contacto entre la superficie del terreno de juego y el balón produce una fuerza de rozamiento. Por esta razón, la pelota de fútbol una vez que es impulsada se va desacelerando, lo que hace que su velocidad disminuya hasta que finalmente se detenga, produciendo, en algunas oportunidades del juego, lo que en la jerga futbolística se denomina pase corto; es decir, un pase que no llega a su destinatario.

La fricción entre el campo de juego y la pelota de fútbol produce una fuerza de rozamiento que desacelera el balón hasta que lo detiene.

El fenómeno de la fricción nos permite responder a esta pregunta: ¿Por qué es conveniente patear al arco cuando la pelota está en movimiento?

En el lenguaje futbolístico, se denomina tiro de media distancia al disparo al arco que realiza un jugador desde una zona comprendida, aproximadamente, entre los tres cuartos de cancha y el área grande rival. Por supuesto que, para que el disparo tenga posibilidad de ser gol, la pelota de fútbol debe alcanzar una velocidad considerable y una de las formas de lograr esto es darle un impulso cuando se encuentra en movimiento. ¿Por qué ocurre esto? Cuando la pelota de fútbol está en movimiento, como consecuencia de que está actuando sobre ella una fuerza neta, tiene una velocidad que llamaremos velocidad inicial. Entonces, cuando el jugador patea la pelota, a la velocidad que ya trae se le suma la velocidad consecuencia del impulso generado por la patada. Y por lo tanto, va a llegar al arco con una velocidad -que llamaremos velocidad final- mayor a la que alcanzaría si el jugador pateara la pelota cuando está quieta.

Cuando el jugador le da un impulso a la pelota en movimiento, ésta alcanza una mayor velocidad final.

Por esta misma razón es conveniente también que el jugador siempre esté en movimiento, aunque no esté participando de la jugada. Cuando un jugador que de pronto debe participar del juego se encuentra en estado de reposo, su velocidad inicial es cero y entonces, como sucede con la pelota de fútbol, va a necesitar mayor tiempo para ponerse en movimiento y alcanzar la velocidad final que puede adquirir corriendo, siendo lo más probable que no pueda tener una participación eficaz en la jugada. Por el contrario, si el jugador ya está en movimiento, pegando saltos cortos o desplazándose en distintas direcciones en cortas distancias, tiene una velocidad distinta de cero y, por lo tanto, en menor tiempo va a alcanzar la velocidad final que puede adquirir corriendo y, de este modo, más rápido va a llegar al lugar donde se desarrolla la jugada.

¿La fricción siempre genera efectos no deseados?

En muchos casos la fricción se intenta disminuir porque genera perjuicios. Como por ejemplo en las diferentes partes que componen un motor. Para disminuir el rozamiento entre las piezas de un motor y, como consecuencia, su desgaste, se utiliza aceite lubricante. Pero en otros casos la fuerza de fricción es bienvenida y no sólo que no se trata de disminuirla sino que, por el contrario, se la aumenta. Como por ejemplo cuando queremos desplazarnos sobre el hielo. La fricción que se genera entre el hielo y la suela de un calzado común es tan pequeña que nos impide desplazarnos. Por esa razón, para poder caminar con normalidad en la nieve debemos utilizar un calzado especial que, por sus características, en contacto con el hielo genera una fricción de mayor intensidad. Es decir, produciendo, como se dice vulgarmente, mayor agarre.

¿Qué función cumplen los tapones de los zapatos de fútbol?

Como todos sabemos, los tapones de los botines de fútbol cumplen con la finalidad de que el jugador pueda desplazarse de la mejor manera posible por el campo de juego. Por esa razón, los tapones que utilizan los jugadores dependen de las características del terreno. Por ejemplo, si la cancha está barrosa y los tapones de los botines no son los adecuados, los jugadores van a resbalar y no van a poder desplazarse. Es similar a la rueda que gira sobre sí misma cuando un auto queda encajado. Para salir de esa situación, solemos colocar debajo de la rueda piedras, ramas o cualquier otro objeto. De este modo, acrecentamos la fricción entre la superficie de la rueda y el piso, y así el piso genera la fuerza de reacción suficiente para que la rueda se desplace. Del mismo modo, la función que cumplen los tapones en los botines es la de generar la fricción adecuada para que el piso ejerza la fuerza de reacción suficiente para que el jugador pueda desplazarse por el campo de juego cómodamente.

En la figura B la fricción entre los botines y el campo de juego es mayor que en la figura A, por los tapones de los zapatos. Y por lo tanto, mayor será la fuerza de reacción que se genera cuando el jugador está corriendo y se quiere detener.

¿Qué pasaría si no existiese la fricción?

Si no existiese la fricción, los cuerpos una vez puestos en movimiento nunca se detendrían. Como es el caso de los planetas o las lunas de nuestro sistema solar. Como no están en contacto ni con una superficie sólida ni líquida ni gaseosa, no se produce ninguna fricción y su movimiento es constante. Si analizamos el fenómeno en términos de energía, podemos decir que los planetas no pierden energía porque no actúa ninguna fuerza de fricción y porque tienen aceleración centrípeta. Pero ¡ojo! No olvidemos que cuando hablamos de quietud o de movimiento estamos tomando como referencia a la superficie de la Tierra, porque en realidad nada en el Universo se encuentra en una quietud absoluta. Es decir que cuando observamos “algo” quieto, se trata sólo de un estado de reposo relativo.

CAPÍTULO 3
LA PELOTA ESTÁ EN MOVIMIENTO

¿Qué energía posee la pelota de fútbol cuando está en movimiento?

Cuando un objeto está en movimiento posee una energía que se llama cinética. Este tipo de energía depende de la velocidad con que se desplaza y también de su masa. Por lo tanto, la pelota de fútbol, cuando se desplaza, tiene energía cinética. Así, el balón va a poseer mayor energía cinética cuando se desplaza a mayor velocidad y/o cuando está más inflada, porque su masa va a ser mayor. Es decir que la energía cinética de un cuerpo es directamente proporcional a su masa y a la velocidad con la que se desplaza.

Por consiguiente, si el cuerpo está en reposo, por más grande que sea su masa, no va a poseer energía cinética porque su velocidad es cero. Si dos cuerpos se desplazan a la misma velocidad, va a poseer mayor energía cinética aquél que tenga mayor masa, como sucede en el caso de un camión y de un auto pequeño que se desplazan a la misma velocidad.

¿Qué podemos hacer para evitar que la pelota de fútbol se detenga?

Todo cuerpo que se desplaza sobre una superficie sufre una pérdida de energía cinética como consecuencia de la fricción que se produce entre la superficie del objeto y la superficie del piso. Por ejemplo, si le damos un impulso a un auto de juguete, se va a desplazar sobre el piso una cierta distancia y luego se va a detener por la acción de la fuerza de fricción. Si queremos mantenerlo en movimiento, debemos aplicar una fuerza de modo constante para compensar la pérdida de energía. Lo mismo sucede con un auto verdadero. En ese caso, el motor provee al automóvil de una energía que compensa la pérdida de energía cinética que se produce como consecuencia de la fuerza de fricción generada por el contacto entre el suelo y los neumáticos del auto, razón por la cual se mantiene en movimiento. Por lo tanto, si queremos que el balón se mantenga en movimiento, debemos aplicarle una fuerza que compense la pérdida de energía cinética que sufre como consecuencia de la fuerza de rozamiento.

¿Qué sucede con la energía cinética que pierde la pelota de fútbol?

Para responder a esta pregunta debemos remitirnos al llamado principio de conservación de la energía, que dice que la energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma. Esto significa que en el universo existe una cantidad constante de energía, que se manifiesta de diferentes formas y que, por diversos procesos, se va transformando una en otra. Por lo tanto, la energía cinética que pierde la pelota de fútbol como consecuencia de la fuerza de fricción producida por el contacto con el terreno de juego, no se pierde sino que se transforma en calor, que es otra forma de energía. Esto podemos observarlo, por ejemplo, cuando desplazamos las palmas de nuestras manos una sobre otra, acción que solemos realizar cuando sentimos frío. Como consecuencia del movimiento, las palmas poseen energía cinética que, por acción de la fuerza de fricción que se produce entre ellas, se transforma en energía calórica.

¿Qué es la energía?

Si bien el término energía no es una palabra ajena al lenguaje cotidiano, seguramente para la mayoría de las personas su definición física no es familiar. La energía se define como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo.

¿Qué es el trabajo mecánico?

Este término tampoco es ajeno al lenguaje cotidiano, aunque en la mayoría de los casos se utiliza con un significado que no se corresponde con el significado que le da la física. El trabajo mecánico que realiza una fuerza se define como el producto de la distancia que recorre dicha fuerza aplicada sobre un objeto y su intensidad. ¿Qué significa esto? Cuando la intensidad de la fuerza aplicada sobre el cuerpo y la distancia que recorre son mayores, mayor será el trabajo de la misma. Si, por ejemplo, mantenemos un cuerpo sostenido con nuestras manos, la fuerza que hacemos no está realizando trabajo porque no se desplaza. Por el contrario, si el objeto está apoyado sobre el piso y lo levanto, en este caso la fuerza que hago realiza un trabajo porque recorre una distancia. Pero la cantidad de trabajo que realiza una fuerza aplicada sobre un cuerpo varía también según la dirección. Si la dirección de la fuerza que aplico sobre un cuerpo es paralela a la dirección de su desplazamiento, el trabajo va a ser diferente a que si la dirección de la fuerza aplicada forma cierto ángulo con respecto a la dirección sobre la cual se desplaza el cuerpo. El efecto sobre el cuerpo va a ser diferente. También este fenómeno lo podemos observar claramente cuando un jugador le aplica a la pelota de fútbol una fuerza de una misma intensidad pero en direcciones diferentes. No va a ser lo mismo si le aplica la fuerza con una dirección paralela al piso, que si le aplica la misma fuerza con una dirección que forme un cierto ángulo con el campo de juego. En ambos casos la pelota de fútbol se va a desplazar de diferente manera.

Pero en la definición de trabajo no aparece el tiempo. Sin embargo, pensemos en la siguiente situación. Cuando subimos una carga por una escalera realizamos el mismo trabajo, si lo hacemos caminando lentamente, o si lo hacemos corriendo. ¿Pero cuándo nos cansamos más? Obviamente, cuando la subimos corriendo. Es decir, cuando recorremos la misma distancia en un menor tiempo. Este fenómeno se puede explicar por la magnitud física que se denomina potencia.

¿Qué es la potencia?

Como dijimos, es una magnitud física que se relaciona con el trabajo y con el tiempo empleado para realizar un trabajo. Cuando más rápido se realiza un trabajo, se desarrolla una mayor potencia. Y por el contrario, cuando más tiempo empleamos para hacer un mismo trabajo, menos potencia desarrollamos. Pensemos. ¿Qué sucedería si aplicáramos sobre una pelota de fútbol una fuerza, recorriendo una misma distancia, pero en tiempos diferentes? Si lo hacemos en cámara lenta, vamos a observar que la pelota apenas se mueve porque empleamos mucho tiempo para que la fuerza aplicada sobre el balón recorra la distancia, y por lo tanto la potencia que desarrollamos es muy pequeña. Por el contrario, si recorremos la distancia con la fuerza aplicada sobre la pelota en un tiempo muy pequeño, vamos a observar que el balón sale desplazado a una mayor velocidad, porque al emplear menor tiempo desarrollamos una mayor potencia. Esta última es la forma de patear la pelota que tienen aquellos jugadores que se caracterizan por poseer un disparo muy potente.

La aceleración que adquiere la pelota es mayor en la figura B porque la fuerza que aplicó el jugador desarrolló una mayor potencia al realizar el trabajo en menor tiempo.

Por lo tanto, la potencia se define como la relación entre el trabajo realizado por una fuerza y el tiempo empleado para llevarlo a cabo. Esto significa que, cuando se realiza un mismo trabajo, se desarrolla más potencia cuando se lo hace en menor tiempo. Por supuesto que este fenómeno está presente en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Como por ejemplo en las lámparas que usamos para iluminarnos en nuestras casas. Vamos a observar que las lámparas de mayor potencia emiten una mayor intensidad de luz. Esto sucede porque la energía eléctrica se transforma más rápidamente en luz. También este fenómeno está presente en los motores de los automóviles. Cuanto mayor potencia posea el motor, mayor aceleración va a poder desarrollar. Y esto sucede porque los motores de mayor potencia consumen más rápidamente el combustible.

¿Cómo se relaciona la energía con el trabajo?

La relación de la energía con el trabajo la podemos ilustrar con el siguiente ejemplo: Cuando le damos un impulso a una bola de billar con el taco para hacer una carambola, es decir para que choque con otra bola, aplicamos una fuerza que recorre una distancia aplicada sobre la bola de billar, de tal modo que esa fuerza realiza un trabajo. Lo mismo sucede cuando el jugador le aplica con su pie una fuerza a la pelota de fútbol. Esa fuerza va a realizar un trabajo porque recorre una distancia aplicada sobre el balón, proveyéndole de ese modo energía. Volviendo al ejemplo de la bola de billar, el trabajo de la fuerza aplicada por el taco le confiere a la bola un movimiento que la hace portadora de energía cinética. Cuando esa bola choca contra la otra bola, la fuerza del choque realiza un trabajo sobre la bola colisionada, provocándole un movimiento y, por lo tanto, haciéndola portadora de energía cinética.

Si esta última bola chocara contra otra bola, sucedería lo mismo que la vez anterior. ¿Qué sucedería si hubiese muchas bolas de billar? Si hubiese muchas bolas de billar con la probabilidad de que se produzcan muchos choques, llegaría un momento en que las bolas de billar se detendrían. ¿Por qué sucedería esto? Ocurriría como consecuencia de la pérdida de energía cinética producida por el rozamiento generado por los choques y por el contacto con la superficie de la mesa de billar. Si bien en este caso, por la forma de la bola de billar y por el tipo de material con el cual están construidas tanto las bolas como la mesa, la fuerza de rozamiento que se genera es muy pequeña, finalmente su efecto detendrá las diferentes bolas de billar con las que se juega.

¿Todos los choques son iguales?

La física reconoce dos tipos de choques: choques elásticos y choques inelásticos.

Los choques elásticos son aquellos en que los objetos, cuando chocan, no se deforman ni generan calor como consecuencia del contacto entre las superficies. Es decir, no sufren ninguna pérdida de energía. Éstas son las características que corresponden a un choque elástico denominado ideal, algo que en la realidad no sucede. Podemos decir que lo más cercano a un choque ideal podemos observarlo cuando chocan dos bolas de billar, ya que por el tipo de material no se deforman y el contacto entre las superficies provoca una fricción muy pequeña.

Por el contrario, los choques inelásticos son aquellos en los que se produce deformación y en los cuales los objetos que chocan pueden quedar adheridos o no. Por ejemplo: dos vagones de trenes. Los choques que se producen cotidianamente entre vehículos son choques inelásticos, ya que se produce deformación y una gran pérdida de energía por fricción, razón por la cual terminan deteniéndose aunque se desplacen a una alta velocidad.

Durante el desarrollo de un partido de fútbol, el balón choca constantemente como consecuencia de las diferentes situaciones del juego. La pelota de fútbol choca constantemente contra la superficie del piso o contra los jugadores. Podemos decir que esos choques tienen la característica de un choque elástico, ya que la pelota de fútbol rebota. Sin embargo, muy lejos están de poder ser considerados choques elásticos ideales, porque producto del rozamiento, pierde energía y finalmente se detiene.

¿Se puede ver la energía?

Para la existencia del Universo es esencial ese fenómeno que la física denomina energía y que se manifiesta de diferentes formas. Pero a la energía no podemos verla. Podemos revelar su existencia cuando acontece algo. Como por ejemplo cuando un objeto se desplaza o cuando una lámpara nos provee de luz. En otros casos podemos experimentarla, como es el caso de la energía calórica cuando nos bañamos con agua caliente, o la energía cinética de las olas del mar cuando nos desplaza de un lado hacia otro. En otras situaciones, no percibimos su presencia. Tal es el caso de un cuerpo apoyado sobre una mesa. Cualquier objeto que se encuentra a una determinada altura del piso o con respecto a la superficie que tomamos como referencia, posee energía potencial gravitatoria, que se manifiesta cuando el cuerpo deja su estado de reposo y comienza a caer. Durante la caída, el objeto va transformando la energía potencial gravitatoria en energía cinética o de movimiento.

Cuando el objeto choca contra el piso, toda la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética. Por esa razón, cuando el balón cae desde mayor altura, si golpea en la parte superior de la cabeza del jugador, le provoca más dolor ya que, al ser mayor su energía potencial gravitatoria, va a ser mayor su energía cinética y, por lo tanto, mayor la fuerza de impacto.

Podemos hacer una experimentación muy sencilla y sin correr ningún riesgo, dejando caer sobre nuestra mano una piedra desde una altura muy pequeña y dejando caer la misma piedra desde una altura un poco mayor. Vamos a observar que en este último caso sentimos un mayor dolor porque la piedra choca contra nuestra mano a una mayor velocidad y, por lo tanto, posee mayor energía cinética.

La energía potencial gravitatoria también va a ser mayor cuando el objeto sea más pesado. Si repetimos las dos experiencias mencionadas con una piedra más pesada, vamos a sentir mayor dolor en ambos casos.

¿Qué sucede cuando el cuerpo está apoyado sobre el piso? Si el objeto está apoyado sobre el piso y éste es nuestra referencia, su energía potencial gravitatoria es nula porque la altura es nula. Pero si nuestra referencia se encuentra en el fondo de un pozo realizado sobre el piso, el objeto va a tener una energía potencial gravitatoria con respecto al fondo del pozo, ya que al caer adquirirá una energía cinética.

Estas transformaciones podemos observarlas cuando un jugador hace jueguito. Si bien no es común que los jugadores hagan jueguito durante el desarrollo de un partido, aquellos que tienen una gran calidad técnica pueden llegar a realizarlo en alguna situación muy particular del juego. Pero es una actividad que, más allá del juego formal del fútbol, suelen realizarla aquellos que practican este deporte, ya sea de modo profesional o simplemente como una distracción.

Pero, ¿cómo se “hace jueguito”?

Cuando hacemos jueguito, la consigna es que la pelota no toque el piso; es decir, se debe mantener en el aire impulsándola con los pies o con cualquier otra parte del cuerpo, exceptuando las manos. En este caso vamos a considerar que utilizamos los pies para que no toque el piso.

Para lograr esto, cada vez que el balón llega a nuestros pies, le damos un impulso y de este modo toma una velocidad que la eleva. Pero, a medida que asciende, la pelota va desacelerando hasta que su velocidad es cero y entonces se detiene alcanzando en ese instante su altura máxima. Luego comienza a caer hasta que llega al pie, y entonces debe dársele un nuevo impulso para volver a elevarla, y así sucesivamente hasta que, por alguna razón, la pelota toca el piso y se acaba el juego. ¿Por qué debe dársele un nuevo impulso cada vez que la pelota llega al pie? Cuando un cuerpo en movimiento se pone en contacto con una superficie, se produce una pérdida de energía por fricción. Por esta razón, cuando la pelota choca con el pie, debemos darle un nuevo impulso para compensar la energía perdida como consecuencia del choque. Como dice el principio de conservación de la energía, la energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma.

Como ya dijimos, cuando la pelota de fútbol se eleva por el impulso dado por el jugador, la pelota adquiere energía cinética que se va transformando en energía potencial gravitatoria, hasta que llega al punto en que alcanza la altura máxima. Punto de la trayectoria en que toda la energía cinética se transformó en energía potencial gravitatoria. Cuando hacemos jueguito se puede considerar que el movimiento del balón responde a las características de lo que en física se denomina tiro vertical. Una vez que alcanzó la altura máxima, la pelota comienza a volver y, a medida que va cayendo, la energía potencial que posee se va transformando en energía cinética. Cuando la pelota choca contra los pies del jugador, la pelota posee energía cinética y parte de energía potencial, ya que no alcanzó al piso. Si despreciamos la resistencia del aire, la velocidad de choque de la pelota con nuestros pies sería igual a la velocidad con que la pelota fue impulsada, si la recibimos a la misma altura desde la cual comenzó a elevarse, correspondiéndose este movimiento con lo que se denomina caída libre.

Cuando el balón choca contra el pie, parte de la energía que tiene se transforma en calor y entonces el jugador debe darle un nuevo impulso para compensar la pérdida de esa energía.

Pero el balón, al chocar con nuestros pies, pierde energía cinética que se transforma en energía calórica como consecuencia de la fricción. Y esa pérdida de energía debemos compensarla para que la pelota mantenga el movimiento. Por esa razón, cuando hacemos jueguito debemos aplicarle un nuevo impulso cada vez que la pelota choca con nuestro pie porque de ese modo compensamos la energía perdida. Como dijimos en el análisis de las transformaciones que sufre la pelota cuando va cayendo o cuando se eleva, despreciamos la resistencia del aire.

Ahora, ¿siempre podemos despreciar la resistencia del aire?

No siempre podemos despreciar la resistencia del aire. Por ejemplo, todos sabemos que una hoja de papel extendida va a caer lentamente. Y esto sucede porque, en este caso, la resistencia del aire es grande comparada con el peso del papel. Pero no ocurre lo mismo si dejamos caer el mismo papel, desde la misma altura, pero esta vez como se dice vulgarmente, hecho un bollo. En este caso, la resistencia del aire es despreciable con respecto al peso del papel y entonces vamos a observar que el papel cae más rápidamente. Pero la magnitud de la resistencia del aire también está relacionada con la altura desde la cual cae el objeto. Por ejemplo, si una piedra de tamaño normal cae desde una altura no muy elevada, como puede ser el décimo piso de un edificio, los efectos de la resistencia del aire son despreciables, pero si cae desde una altura considerable, como puede ser desde un avión, los efectos de la resistencia del aire se tornarían significativos, llegando un momento en que la velocidad de la piedra no aumentaría más, como consecuencia de que la resistencia del aire igualaría al peso, y entonces la aceleración sería nula. No olvidemos que la aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él. Si durante la caída de un cuerpo, su peso es igualado por la resistencia del aire, que actúa en sentido contrario, la fuerza neta es igual a cero y, por lo tanto, su aceleración es cero. Esta regularidad de la naturaleza fue sintetizada por Isaac Newton en la llamada Ley de masa. Entonces, cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo que cae es cero, su velocidad se va a mantener constante durante el resto de la caída, habiendo alcanzado lo que se denomina velocidad límite.

¿La pelota de fútbol puede alcanzar la velocidad límite?

La velocidad límite es la velocidad que alcanza un objeto mientras va cayendo, cuando la resistencia del aire iguala al peso del objeto. Pero no siempre los objetos alcanzan su velocidad límite. En algunos casos, caen desde una altura tal que no llegan a su velocidad límite porque la resistencia del aire no llega a igualar a su peso. Entonces, su velocidad va a ir aumentando durante toda su caída, aunque la aceleración no va a ser constante porque, si bien el objeto no llega a alcanzar su velocidad límite, instante en que la aceleración es cero, la misma va a ir disminuyendo por la acción de la resistencia del aire, que actúa en sentido contrario al movimiento, provocando de este modo que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo hacia abajo, vaya disminuyendo a medida que cae. Por lo tanto, la velocidad máxima que va a alcanzar un objeto durante su caída va a depender de su peso, de la altura desde la cual cae y de su forma, siendo ésta determinante, como vimos en el caso de la hoja de papel, en la resistencia que ejerza el aire durante su caída. Si la resistencia del aire es despreciable durante toda la caída del cuerpo, éste va a ir aumentando su velocidad, con una aceleración constante, siendo ésta la aceleración de la gravedad, que tiene un valor aproximado a 10 m/seg. Esto significa que, por cada segundo que cae, su velocidad aumenta en 10 m/seg. Si el cuerpo fue dejado caer y tarda 10 segundos en llegar al piso, la velocidad con la que chocará contra el piso será de 100 m/seg.

Cuando una pelota de fútbol es rechazada hacia arriba por un jugador y vuelve al piso, nunca llega a alcanzar su velocidad terminal. Esto se debe a que la altura desde la cual cae no es la suficiente para que la resistencia del aire iguale a su peso. Pero, si dejáramos caer el balón desde un avión, en algún punto de la trayectoria, alcanzaría la velocidad terminal y entonces no seguiría aumentando su velocidad porque su peso habría sido igualado por la resistencia del aire. Le pasaría lo mismo que le sucede a un paracaidista. Rápidamente alcanza la velocidad terminal como consecuencia de que la forma del paracaídas genera una resistencia del aire muy grande, que iguala al peso en un tiempo muy pequeño. Por esa razón, no sigue aumentando su velocidad y entonces el paracaidista choca contra el piso, con una velocidad tal que no sufre ningún daño.

En la figura A, la fuerza de rozamiento iguala al peso y la pelota alcanza la velocidad límite. En la figura B, como no hay rozamiento del aire, la pelota aumenta su velocidad de manera constante hasta que choca contra el piso.

Entonces ¿qué condiciones se deben cumplir para que un objeto tenga una caída libre?

Antes de responder a esta pregunta vale destacar que, durante casi dos milenios, la humanidad tuvo un pensamiento equivocado sobre este fenómeno, ya que consideró como verdadera la teoría de Aristóteles que enunciaba que los cuerpos más pesados caían más rápido. Esta teoría fue válida hasta que Galileo se subió a la ahora famosa Torre de Pisa y dejó caer objetos de tamaños diferentes desde una misma altura y observó que llegaban al piso al mismo tiempo, refutando de este modo la teoría del filósofo griego que había sido considerada como verdadera durante casi ¡¡¡dos mil años!!! La refutación por parte de Galileo de las teorías de Aristóteles sobre la caída de los cuerpos y sobre el desplazamiento de los cuerpos, como vimos en el capítulo 2, produjo un gran revuelo, ya que éstas coincidían con las interpretaciones que se podían hacer leyendo la Biblia y, por lo tanto, eran aceptadas con beneplácito por la Iglesia. Tal fue el rechazo e indignación que produjo en la jerarquía eclesiástica la refutación de Galileo que lo obligaron a una confesión leída en voz alta ante el Santo Oficio, donde se retractaba de lo expresado, para no ser quemado en la hoguera. Pero, si bien salvó su vida, fue considerado un hereje y como tal debió vivir confinado en su casa de Florencia hasta su muerte. Posteriormente sus ideas fueron aceptadas y se convirtieron en las impulsoras de la revolución científica producida en el Renacimiento.

La respuesta a la pregunta inicial es la siguiente: La caída de un objeto se acerca a lo que se denomina caída libre cuando cae por acción exclusiva de la fuerza de gravedad y cuando la relación entre el peso del cuerpo y la superficie de contacto de éste con el aire generan las condiciones adecuadas para que la resistencia del aire pueda despreciarse. En esta situación, como ya vimos, el objeto va aumentando su velocidad hasta que choca contra el piso, con la aceleración de la gravedad. Debe destacarse que el valor de la aceleración de la gravedad sufre pequeñas variaciones, dependiendo éstas del lugar del planeta en que se mida. Se puede lograr de manera experimental una situación de caída libre ideal produciendo en algún lugar cerrado, como puede ser un recipiente, una ausencia total de aire a través de una llamada bomba de vacío, un dispositivo mecánico que extrae el aire de modo semejante a cuando succionamos con un sorbete para tomar una gaseosa. En este caso, cuando succionamos, extraemos el aire para producir un vacío que es ocupado por la gaseosa.

CAPÍTULO 4
LA PELOTA VUELA

¿Por qué la pelota de fútbol es redonda?

Antes de respondernos esta pregunta pensemos qué sucedería si la pelota de fútbol fuese cúbica.

Seguramente resultaría muy gracioso ver un partido de fútbol jugado con una pelota de forma cúbica. Aunque el juego, sin duda, sería menos bello. Observaríamos, como es de suponer, que el desplazamiento de esa extraña pelota de fútbol sería notoriamente dificultoso. Al ser impulsada, se detendría rápidamente. Esto sucedería porque, como consecuencia de su forma, generaría una fricción muy grande en contacto con el terreno de juego y, por lo tanto, una fuerza de rozamiento que rápidamente la detendría.

Sin embargo, como ya vimos, aunque la pelota de fútbol es redonda, de todos modos se genera una fuerza de rozamiento entre ella y el campo de juego, como consecuencia de la fricción. Por lo tanto, cuando el jugador impulsa la pelota por el campo de juego, se va desacelerando porque la fuerza de rozamiento se opone a su movimiento, provocándole de este modo una pérdida de energía.

Pero, ¿la redondez del balón favorece su desplazamiento a través del aire?

Si bien la forma esférica de la pelota, como ya dijimos, genera menor resistencia al desplazamiento que una forma cúbica, no podemos decir que desde el punto aerodinámico es la forma más conveniente. Para entender mejor este fenómeno, pensemos que la masa de aire que rodea a la pelota está formada por delgadas capas de moléculas de las diferentes sustancias que forman el aire. Cuando la pelota se desplaza a través del aire, esas delgadas capas se desplazarán con respecto a la pelota en sentido contrario al balón y chocarán contra la superficie de ésta. Si la pelota fuese cúbica, generaría una gran cantidad de remolinos y, como consecuencia de esto, una gran pérdida de energía. Sin embargo y a pesar de que la forma esférica genera menos pérdida de energía que la pelota cúbica, no es la forma aerodinámica ideal. Durante un partido, podemos observar que, cuando el viento circula con una velocidad importante y el balón se traslada en sentido opuesto a éste, sus efectos se tornan claramente visibles, como consecuencia de que produce su frenado y/o su desvío. Esto se debe a que el choque de la masa de aire en movimiento genera una gran pérdida de energía.

Si el balón tuviese una forma cúbica, su desplazamiento generaría una mayor turbulencia en la masa de aire y, por lo tanto, sufriría una mayor pérdida de energía.

Para poder visualizar la importancia de las formas de un objeto para su desplazamiento a través de un fluido gaseoso, pensemos en un avión. Su forma logra, en principio, que no se caiga y luego que se desplace generando una pequeña pérdida de energía por fricción.

¿Por qué una pelota de fútbol se cae y un avión puede flotar en la masa de aire?

Como dijimos anteriormente, para lograr esto es determinante su forma. En este caso, la forma de sus alas. Los fluidos, ya sean líquidos o gaseosos, ejercen una presión sobre las superficies con las que están en contacto, cuando están en movimiento o cuando están en reposo. Por ejemplo, el agua contenida en una piscina ejerce una presión sobre sus paredes y sobre el fondo de la misma. El aire contenido en un globo ejerce una presión sobre la superficie interna del mismo y en algunos casos es de tal magnitud que produce su explosión.

Pero, ¿qué es la presión?

El término presión está asociado a diferentes fenómenos. Por ejemplo, conocemos la presión atmosférica, la presión arterial o la presión de aire de un neumático, entre otras. Y en todos ellos, el concepto de presión es el mismo. La presión es un fenómeno que se produce por la acción de una fuerza sobre una superficie. Por ejemplo, la presión atmosférica es producto de la fuerza que ejerce el peso de la atmósfera sobre la superficie de la Tierra. La presión arterial es la fuerza que ejerce la sangre en movimiento sobre las paredes de las arterias. La presión de aire de un neumático es la fuerza que ejerce el aire sobre la superficie interna del neumático. También se produce una presión cuando con nuestros dedos ejercemos una fuerza sobre la superficie de la perilla del interruptor de la luz. Y así podríamos seguir citando innumerables ejemplos más.

Sin embargo, la presión varía según los fluidos estén en reposo o en movimiento. Cuando los fluidos están en movimiento, ejercen una menor presión sobre las superficies con las que están en contacto. Este fenómeno fue descubierto por el científico suizo Daniel Bernoulli en el siglo XVIII, mediante una serie de experimentos con tubos por donde hacía circular una corriente de agua. Fue así que enunció un principio que en su forma más sencilla expresa: lo siguiente “Cuando un fluido aumenta su velocidad, su presión disminuye”. Por ejemplo, el agua de una cañería ejerce menor presión sobre las paredes de los caños cuando está en movimiento que cuando está en reposo.

También podemos observar este fenómeno cuando se produce una tormenta muy fuerte de viento. En este caso, se corre el riesgo de que los techos de las casas se vuelen. ¿Por qué puede suceder esto? Para algunos distraídos, vamos a recordar que el viento es aire en movimiento. Por lo tanto, como el aire es un fluido, cuando más rápido se desplace menor va a ser la presión que ejerza. Durante las tormentas los vientos suelen alcanzar altas velocidades. Por lo tanto, la presión que ejerce sobre la superficie externa de los techos de las casas es menor que la presión que ejerce el aire, que se encuentra en reposo dentro de la casa, sobre la superficie interna de los techos. De este modo, se genera una diferencia de presión que da como resultado una fuerza hacia arriba que en algunos casos es de tal magnitud que puede llegar a levantar los techos, y que se denomina fuerza ascensional.

¿Por qué la forma de las alas permite a los aviones mantenerse en el aire?

La forma y la orientación de las alas hacen que el aire circule por su parte superior a mayor velocidad que en su parte inferior, lo que produce que el aire por encima del ala se encuentre a menor presión que el aire que se desplaza por la parte inferior, generando de este modo una diferencia de presión que, como ya dijimos, da como resultado una fuerza neta dirigida hacia arriba llamada fuerza ascensional.

Esta fuerza será mayor cuanto mayor sea la diferencia de presión entre el aire que circula por la parte superior y el aire que se desplaza por la parte inferior de las alas y también cuanto más grande sea la superficie de las mismas.

Es importante resaltar que una diferencia de presión muy pequeña puede producir una fuerza ascensional considerable si la superficie es grande, y esto es lo que sucede con las alas de los aviones. De este modo, la fuerza ascensional que se genera sobre las alas de los aviones es de tal intensidad que puede contrarrestar los efectos de la fuerza de gravedad; es decir, de su peso.

Por el contrario, la forma que posee la pelota de fútbol no es la apropiada para que genere una fuerza ascensional de tal intensidad que pueda contrarrestar los efectos de la gravedad y, por lo tanto, no puede flotar en el aire.

¿Por qué un avión se desplaza produciendo una pérdida de energía pequeña?

La respuesta es que presenta una forma aerodinámica. Es decir, una forma tal que apenas perturba el flujo de la masa de aire que atraviesa y que circula a través de él.

Por la parte inferior del ala del avión, el aire circula a menor velocidad que sobre la parte superior. Esto genera sobre el ala una fuerza hacia arriba, que contrarresta los efectos de la gravedad.

¿Por qué se denomina “fluidos” a los líquidos y los gases?

En principio digamos que los sólidos no son fluidos porque carecen de la capacidad de fluir. Por el contrario, los líquidos y los gases se denominan fluidos porque tiene la capacidad de fluir. Podemos observar este fenómeno claramente, por ejemplo, cuando volcamos un recipiente que contiene aceite. Vamos a ver que el aceite no cae todo junto, como sucedería con una sustancia en estado sólido, como por ejemplo una piedra, sino que las diferentes capas que lo componen van cayendo a diferentes velocidades.

Pero no todos los fluidos poseen la misma capacidad de fluir. Por ejemplo, podemos observar que el agua en estado líquido no fluye de la misma manera que el aceite. Y estas diferentes capacidades de fluir se expresan en un índice que es propio de cada fluido y que se denomina índice de viscosidad. Esta última es una propiedad que se define como la resistencia que presentan, tanto los líquidos como los gases, a fluir.

También debemos resaltar que la capacidad de fluir depende de la temperatura. Podemos observar que, cuando los fluidos se encuentran a mayor temperatura, fluyen más fácilmente. Por ejemplo, podemos ver claramente que la miel, cuando se encuentra a una alta temperatura en un recipiente y la volcamos, cae rápidamente. Es decir, presenta menor resistencia a fluir. Esto sucede porque disminuye su viscosidad. Este comportamiento también se manifiesta en los gases, aunque no lo podemos percibir en situaciones cotidianas.

Pero la forma de los objetos también es importante, como ya dijimos, cuando se deben desplazar a través de un fluido líquido y/o cuando deben flotar en él, como es el caso de las embarcaciones.

¿Por qué algo tan pesado como un barco puede flotar?

Esto es posible porque el barco tiene una forma tal que produce una fuerza de empuje mayor que su peso, siendo esta última la condición de flotabilidad que debe cumplir cualquier objeto para flotar en la superficie del agua o de cualquier fluido.

¿Qué es la fuerza de empuje?

Es una fuerza que ejercen los fluidos de abajo hacia arriba sobre los objetos sumergidos. Esta regularidad de la naturaleza, según cuenta la historia, fue descubierta de manera casual por Arquímedes y le permitió enunciar el principio que lleva su nombre. El principio de Arquímedes dice lo siguiente: “Todo cuerpo sumergido recibe una fuerza de empuje de abajo hacia arriba que es igual al peso del volumen de líquido que desaloja”.

¿Se ve la fuerza de empuje?

La fuerza de empuje no es visible, como no lo es ninguna fuerza. Pero podemos percibir sus efectos. Por ejemplo, cuando levantamos a una persona que está sumergida en el agua (mar, piscina, etc.), vamos a observar que podemos levantarla más fácilmente que cuando está fuera del agua. Esto se debe a que la persona sumergida en agua pesa menos, como consecuencia de la fuerza de empuje que ejerce el fluido líquido sobre ella hacia arriba. Un ejemplo sorprendente de la acción de la fuerza de empuje lo podemos observar en las aguas del Mar Muerto. La fuerza de empuje que ejercen es de tal magnitud que las personas prácticamente pueden permanecer sentadas sobre la superficie sin hundirse.

¿Por qué en el Mar Muerto las personas pueden sentarse sobre el agua?

La fuerza de empuje que ejercen los fluidos es directamente proporcional a su peso específico. Es decir que, cuanto mayor sea el peso específico del fluido, mayor será la fuerza de empuje que ejerza. El Mar Muerto posee una gran concentración de sales minerales y, por lo tanto, tienen un peso específico muy elevado.

Pero, ¿qué es el peso específico?

Es la relación entre el peso del cuerpo y el volumen que ocupa. ¿Qué significa esto? Vamos a responder esta pregunta con un ejemplo. El peso específico del agua es aproximadamente de un gramo por centímetro cúbico a una presión atmosférica de una atmósfera (atmósfera es una unidad de presión) y 4 grados centígrados. Esto significa que un centímetro cúbico de agua pesa aproximadamente un gramo. Por ejemplo, el peso específico del mercurio, la sustancia que contienen los termómetros, es de 13,8 gramos por centímetro cúbico. Esto significa que un centímetro cúbico de mercurio pesa 13,8 gramos.

Un experimento muy sencillo que pone de manifiesto esta característica es el siguiente: Si tomamos un recipiente, le ponemos agua y luego introducimos un huevo crudo, vamos a observar que el huevo se hunde. Sin embargo, si vamos disolviendo en el agua sal común, en un momento dado el huevo va a comenzar a elevarse hasta que emerge. Esto se debe a que, cuando agregamos sal al agua, aumentamos su peso específico y, por lo tanto, aumenta la fuerza de empuje que el líquido ejerce sobre el huevo.

¿De qué otra manera se puede aumentar la fuerza de empuje?

Otra forma de aumentar la fuerza de empuje es aumentando el volumen del cuerpo sumergido y, por lo tanto, el volumen de agua desalojada. ¿Qué significa esto? Por ejemplo, si tenemos un recipiente con agua hasta el borde y sumergimos totalmente un objeto de 100 centímetros cúbicos de volumen, el agua que se va a volcar será de 100 centímetros cúbicos. Es decir que el objeto desaloja un volumen de 100 centímetros cúbicos. Por lo tanto, si pesamos los 100 centímetros cúbicos de agua, vamos a obtener el valor de la fuerza de empuje que recibe el objeto. En este caso, como el peso específico del agua es aproximadamente de un gramo por centímetro cúbico, el valor de la fuerza de empuje será de 100 gramos. Si el volumen sumergido es mayor, se va a volcar más agua y por lo tanto la fuerza de empuje va a ser mayor.

Entonces, ¿qué condición se debe cumplir para que un objeto flote en la superficie de un líquido?

La condición que se debe cumplir es que el peso del líquido desalojado por el objeto sumergido sea mayor al peso del objeto. Esto significa que, si un barco pesa 10 toneladas, el agua que debe desalojar el volumen del barco sumergido para que flote, debe pesar más de 10 toneladas. Las embarcaciones poseen una forma tal que el volumen del barco sumergido desplaza un volumen de agua cuyo peso es igual al peso del barco. Por esta razón, un barco puede flotar.

La fuerza de empuje que ejerce un fluido sobre un objeto depende del volumen sumergido. Cuanto mayor sea el volumen sumergido mayor será la fuerza de empuje, aunque la masa sea la misma, como se muestra en la figura.

Para nuestro asombro, podemos observar cómo objetos tan pequeños como una moneda se hunden porque no cumplen con la condición de flotabilidad. Es decir, el peso del agua que desaloja el volumen de moneda sumergida es menor que su peso.

Todo lo que se encuentra sobre la superficie de la Tierra (personas, objetos, animales, etc.) está sumergido en una mezcla conformada por diferentes gases, entre ellos el aire. Por lo tanto, reciben una fuerza de empuje. Sin embargo, como su magnitud es muy pequeña comparada con el peso, ya sea de una persona o de un objeto, es imperceptible. Por esa razón, ni los objetos ni las personas flotamos. Uno de los pocos casos en que la fuerza de empuje ejercida por el aire se pone de manifiesto es cuando inflamos los globos de cumpleaños con el gas helio.

¿Por qué un globo inflado con helio se eleva solo y la pelota de fútbol se cae?

Podemos observar que, si soltamos un globo inflado con gas helio se eleva sin que le demos ningún impulso. Esto sucede porque la fuerza de empuje que hace el aire sobre el globo es mayor que su peso. Por el contrario, la fuerza de empuje que ejerce el aire sobre una pelota de fútbol es muy pequeña comparada con su peso y entonces se cae. Pero los fluidos también poseen una propiedad muy singular: pueden transmitir la presión que se ejerce sobre ellos en todas las direcciones y sentidos. Esta regularidad de la naturaleza fue descubierta por Blas Pascal, quien enunció el principio que lleva su nombre y que dice: “Los cambios de presión en cualquier punto de un fluido en reposo se transmiten en todas las direcciones y sentidos del mismo con la misma intensidad”.

El conocimiento de esta propiedad de los fluidos, entre otras cosas, dio lugar a la invención del llamado gato hidráulico, dispositivo que permite levantar un vehículo realizando muy poca fuerza.

¿Por qué con un gato hidráulico podemos levantar un auto haciendo muy poca fuerza?

Cuando hacemos fuerza sobre el extremo del gato hidráulico, ejercemos una presión sobre el pistón de menor superficie. Esa presión, por la propiedad de los fluidos, se transmite en todas direcciones y sentidos a través del fluido líquido que tiene en su interior, llegando al pistón de mayor superficie, que es donde apoya el auto. Como éste tiene una superficie mucho mayor al pistón sobre el cual ejercemos la fuerza, para mantener la presión inicial, la fuerza se debe multiplicar. Pero vamos a ilustrar la explicación con un ejemplo.

Si ejercemos una fuerza de un kilogramo fuerza sobre una superficie de un centímetro cuadrado, el valor de la presión que soporta el fluido será de un kilogramo fuerza por centímetro cuadrado. Si el pistón del otro extremo tiene una superficie de 50 centímetros cuadrados, la fuerza naturalmente se multiplica por 50, para de ese modo mantener el valor de la presión que ejercimos, ya que como la presión se define como la relación entre la fuerza y la superficie sobre la cual se aplica, si dividimos 50 kilogramos fuerza por 50 centímetros cuadrados nos da un kilogramo fuerza por centímetro cuadrado, el valor de la presión inicial, que se generó cuando ejercimos la fuerza de un kilogramo sobre el pistón más pequeño. Por lo tanto, ejerciendo una fuerza de un kilogramo fuerza, podemos levantar un objeto que pesa 50 kilogramos fuerza. Con la misma relación de superficies, si ejercemos una fuerza de 10 kilogramos, vamos a poder levantar un objeto que pesa 500 kilogramos.

La prensa hidráulica permite levantar objetos muy pesados realizando muy poca fuerza por la propiedad que poseen los fluidos de transmitir la presión en todas direcciones con la misma intensidad.

CAPÍTULO 5
PASE POR ELEVACIÓN

¿Cómo se le debe pegar al balón para dar un pase por elevación?

El pase por elevación suele ser utilizado por el jugador cuando le quiere dar un pase a un compañero que está alejado de él. ¿Cómo le debe pegar a la pelota para lograr esto? Para elevar la pelota, el jugador le debe aplicar una fuerza que no sea paralela al piso porque el balón se desplazaría a ras del piso. Tampoco que sea perpendicular al piso porque se elevaría con una dirección perpendicular al campo de juego. Es decir, que le debe dar un impulso de tal manera que la dirección de la fuerza aplicada forme un ángulo con la horizontal (eje de las x) y con la vertical (eje de las y). Además, la dirección de la fuerza aplicada debe pasar por debajo de la recta, paralela al piso, que atraviesa el centro de la gravedad del balón, cuya longitud es igual al diámetro.

Pero, ¿qué es el centro de gravedad?

El centro de gravedad es un punto que puede estar dentro o fuera del cuerpo, donde se concentra el peso del cuerpo. También los cuerpos poseen un centro de masa: un punto donde se concentra la masa de un cuerpo. Cuando la gravedad del cuerpo, por su tamaño, no es la misma en todos los puntos, como sucede con la luna, que en su cara más cercana se ve más afectada por la fuerza de gravedad de la Tierra, el centro de masa no coincide con el centro de gravedad.

Sin embargo, para los objetos que se encuentran sobre la superficie de la Tierra, podemos decir que el centro de masa coincide con el centro de gravedad. En algunos casos, un cuerpo puede poseer centro de masa y no centro de gravedad. Esta situación se da, por ejemplo, cuando un objeto se encuentra en el espacio y la suma de todas las fuerzas gravitacionales de los cuerpos celestes sobre él es igual a cero. Por lo tanto, su peso es igual a cero y entonces no posee centro de gravedad.

Para que un jugador se mantenga en equilibrio, debe tener una posición tal que su centro de gravedad esté por encima de la superficie delimitada por sus pies. Cuando un jugador salta y vuelve al piso, naturalmente coloca sus pies de tal modo de generar condiciones de estabilidad. Entonces, un jugador cae al piso, de manera involuntaria, porque su centro de gravedad, por alguna situación del juego, quedó por afuera de la superficie delimitada por sus pies. Por supuesto que esto es válido para cualquier objeto que cae, ya sea una silla, un edificio o una copa de vidrio. Los objetos poseen mayor estabilidad cuando el centro de gravedad está lo más bajo posible, incluso puede llegar a estar bajo tierra. Pero también cuando la base de sustentación sea lo suficientemente extensa. Por ejemplo, por la estatura que tienen los jugadores de básquet, su centro de gravedad se encuentra a mayor altura. Sin embargo, al tener pies más grandes, generan una base de sustentación más grande y, por lo tanto, su estabilidad no es diferente a la de una persona que posee una altura media.

Es importante destacar que el centro de gravedad de un cuerpo puede estar fuera de ese cuerpo. Por ejemplo, en una taza vacía, el centro de gravedad está dentro de la taza; es decir, donde no hay material con el que está construida. También el centro de gravedad puede variar su posición con la forma del objeto. Por ejemplo, si tenemos arcilla mojada y vamos variando su forma, también cambiará la ubicación de su centro de gravedad.

Cuando la fuerza del peso cae por fuera del área delimitada por los pies del jugador, éste pierde el equilibrio y cae.

¿Por qué la pelota de fútbol sigue una trayectoria parabólica cuando se patea por elevación?

Cuando un jugador de fútbol realiza un pase largo por elevación, observamos que el balón alcanza una altura máxima y luego comienza a descender, siguiendo una trayectoria muy parecida a una parábola.

¿Por qué sucede esto?

La trayectoria parabólica de cualquier objeto se compone de dos movimientos. Un movimiento que denominamos vertical y otro movimiento que llamamos horizontal. Por lo tanto, para poder entender las razones por las cuales la pelota de fútbol sigue esa trayectoria, debemos analizar cada movimiento por separado. Vamos a comenzar por el movimiento vertical. Si la pelota de fútbol sigue una trayectoria vertical, es decir perpendicular al piso, vamos a observar que se va desacelerando, como consecuencia de la fuerza de atracción gravitatoria, hasta que llega a un punto en que se detiene para luego comenzar a caer, lo mismo que sucede cuando arrojamos un objeto con una dirección perpendicular al piso. Y si despreciamos la resistencia del aire, llegaría a la altura desde la que comenzó a elevarse con la misma rapidez que fue impulsada.

Este análisis también es válido para cuando el balón sigue una trayectoria vertical. Pero, cuando el jugador de fútbol le da un impulso a la pelota, para realizar un pase por elevación, ésta además de poseer un movimiento vertical, tiene también un movimiento horizontal. Por lo tanto, podemos distinguir dos velocidades: la velocidad horizontal, que denominamos Vx y la velocidad vertical, que denominamos Vy, que dan como resultado la velocidad con la que se desplaza el balón.

La velocidad que disminuye cuando la pelota de fútbol va ascendiendo, como consecuencia de la gravedad, es la que corresponde a la componente vertical de la velocidad. La pelota va disminuyendo Vy hasta que llega a cero y se detiene por un instante, alcanzando en ese momento la altura máxima. Luego, cuando comienza a descender por la acción de la gravedad Vy, va aumentando hasta que la pelota de fútbol, si despreciamos la resistencia del aire, llegaría a la altura desde la cual fue impulsada, con la misma velocidad de partida.

Pero, ¿qué sucede con el movimiento horizontal?

Durante el desplazamiento del balón, la componente horizontal de la velocidad, es decir Vx, no se ve afectada por la fuerza de atracción gravitatoria ni por ningún otro factor, si despreciamos la resistencia del aire, como lo hacemos en este análisis. Por lo tanto, durante toda su trayectoria, la componente de velocidad que llamamos Vx no varía. Es decir, se mantiene constante, manteniendo un movimiento denominado rectilíneo y uniforme.(M. R. U).

Desde el punto de vista de la física, un móvil (cualquier objeto que se mueve) de acuerdo a su desplazamiento, puede tener un movimiento rectilíneo y uniforme (M. R. U.) o un movimiento rectilíneo uniformemente variado (M. R. U. V.). Debemos destacar que éstas son las posibilidades más simples de movimiento. Existe la posibilidad de movimientos más complejos que este trabajo no tiene por objetivo analizar.

¿Qué característica posee el movimiento rectilíneo y uniforme (M. R. U.)?

Un móvil que se desplaza con este movimiento lo hace en una dirección recta y con una velocidad constante; es decir, con la misma velocidad y con una aceleración nula. Como dijimos, en un partido de fútbol el movimiento horizontal del balón se acerca a estas características cuando, al ser impulsado por un jugador, se eleva y se desplaza con una trayectoria semejante a la de una parábola. Y este último movimiento, despreciando la resistencia del aire, se corresponde con el movimiento rectilíneo y uniforme (M. R. U.). En la vida cotidiana, un auto que se desplaza en línea recta con una velocidad constante se acerca a las características de este movimiento.

¿Qué característica posee el movimiento rectilíneo uniformemente variado (M. R. U. V.)?

Un móvil que se desplaza con este movimiento lo hace en línea recta y con un aumento de velocidad constante. Es decir, con una aceleración constante. Por ejemplo, un auto que se desplaza en una recta con una aceleración de 20 km/h cada un segundo. Es decir, cada segundo que pasa su velocidad aumenta 20 km/h. O, por el contrario, puede ir a una alta velocidad e ir frenando con una aceleración negativa de 20 km/h cada un segundo. Es decir, cada segundo que pasa disminuye su velocidad 20 km/h. La pelota de fútbol se puede acercar a este movimiento cuando, luego de ser impulsada por un jugador a ras del piso, va disminuyendo su velocidad sin que nadie ni nada la obstaculice. Entonces lo puede hacer con una aceleración negativa cercana a la constancia, si el terreno de juego se aproxima a la superficie que tiene una mesa de billar. Una característica que podemos llegar a encontrar en los campos de juego de las ligas europeas de fútbol.

Pero, como ya dijimos, la fuerza de rozamiento no siempre es igual. Depende de las características de la superficie sobre la que se desplaza el objeto, del material con el que está construido, de su masa y de su forma.

Como el material con el que se construye la pelota de fútbol podemos decir que no tiene variación, como así tampoco su forma, ni la presión del aire con que se infla, la fuerza de rozamiento generada por el balón y el campo de juego va a depender exclusivamente de las características del terreno de juego. Cuanto más irregularidades posea, mayor será la fricción y, por lo tanto, la pelota de fútbol se va a frenar más rápidamente. Si el campo de juego está mojado o húmedo, vamos a observar que la pelota de fútbol tarda más en frenarse como consecuencia de que la humedad disminuye la fuerza de fricción. Por supuesto que la menor fuerza de fricción se va a producir cuando el terreno de juego se asemeje a la superficie que tiene una mesa de billar. Por lo tanto, despreciando los efectos de rozamiento del aire, la combinación del movimiento horizontal y vertical de la pelota de fútbol da como resultado una trayectoria semejante a la de una parábola.

Cuando el jugador le pega a la pelota como muestra la figura, ésta sigue una trayectoria parabólica, que se compone por un movimiento horizontal y un movimiento vertical.

¿Qué semejanza tiene el “vuelo” del arquero con el movimiento de la pelota, en un pase largo por elevación?

Cuando se produce un disparo al arco y la pelota de fútbol va a media altura en una dirección cercana a los palos, el arquero, para atraparla o desviarla, suele inclinar su cuerpo y, como se dice en la jerga futbolística, volar. Es decir, vuelca su cuerpo hacia un costado, despegando los pies del piso y estirando sus brazos para alcanzar el balón. Si analizamos este movimiento en términos de fuerza, el arquero debe ejercer una fuerza con alguno de sus pies de tal manera que la reacción del piso lo impulsa en la dirección deseada.

¿Hacia dónde debe hacer fuerza el arquero para poder “volar”?

En principio, debemos decir que, para que el arquero pueda volar, debe vencer a la fuerza de gravedad.

¿Cómo se logra esto? Para producir este desplazamiento, el arquero debe realizar una fuerza con sus pies en una dirección que no sea perpendicular al piso porque, de lo contrario, saldría impulsado verticalmente, como cuando queremos dar un salto hacia arriba. Pero, ¿qué nos impulsa hacia arriba? Si saltamos, realizando ese movimiento de forma consciente, vamos a observar que ejercemos con nuestros pies una fuerza hacia abajo, sobre el piso. Y el jugador de fútbol, para elevarse, hace lo mismo. Entonces, ¿por qué, si realiza una fuerza hacia abajo, sale impulsado hacia arriba? Para responder a esta pregunta, debemos remitirnos a una regularidad de la naturaleza, descubierta por Isaac Newton, que dio como resultado la llamada Tercera ley de Newton o Ley de acción y reacción. El jugador ejerce una fuerza con sus pies sobre el terreno de juego y como consecuencia de esto, el piso ejerce sobre los pies del jugador una fuerza de reacción en sentido contrario que produce su elevación. Por supuesto que, cuanto mayor sea la intensidad de la fuerza que el jugador hace con sus pies sobre el piso, mayor altura va a alcanzar porque mayor va a ser la fuerza de reacción que haga el piso sobre sus pies.

Esta regularidad de la naturaleza podemos evidenciarla también cuando golpeamos una pared con el puño. La fuerza que ejercemos sobre ella es la fuerza de acción y la fuerza que ejerce la pared sobre el puño es la fuerza de reacción. Por esta razón, cuando golpeamos la pared con una fuerza de mayor intensidad, más nos duele. Tampoco el arquero deberá ejercer una fuerza paralela al piso. Si prestamos atención a nuestro caminar, vamos a observar que ejercemos una fuerza con nuestros pies paralela al piso, hacia atrás. Por lo tanto, la fuerza de reacción que ejerce el piso sobre nuestros pies es la que nos impulsa hacia delante. Lo mismo sucede cuando nadamos. Con los brazos hacemos fuerza hacia atrás y la fuerza de reacción del agua nos desplaza hacia delante. Y así podríamos seguir citando innumerables ejemplos cotidianos en los que se manifiesta este fenómeno. Entonces, el arquero tampoco debe realizar una fuerza paralela al piso porque saldría caminando.

Si comparamos la trayectoria del arquero en vuelo con la trayectoria que sigue la pelota cuando el jugador da un pase por elevación, vamos a observar que es semejante. Si analizamos esta situación en términos de velocidad, la disposición de los vectores que representan la velocidad inicial y sus componentes de velocidad es semejante a la de las fuerzas actuantes en esta situación. Como vimos, la velocidad en una trayectoria parabólica tiene dos componentes: una vertical y otra horizontal. La fuerza que impulsa al arquero con una trayectoria oblicua también tiene dos componentes: una horizontal y otra vertical. Esta última es la que contrarresta la fuerza del peso, es decir la fuerza de gravedad, y la primera impulsa el movimiento en dirección del eje de las x.

La fuerza que impulsa al arquero tiene una componente perpendicular al piso y otra componente paralela al campo de juego y es la fuerza de reacción que ejerce el piso sobre los pies del jugador.

¿Por qué ocurre esto? La aceleración que adquiere un cuerpo al que se le aplica una fuerza tiene la misma dirección y sentido de la fuerza. Por lo tanto, la dirección y el sentido de la velocidad que adquiere ese cuerpo va a ser el mismo que el de la aceleración porque la velocidad inicial es cero. En la mayoría de los casos la velocidad y la aceleración tienen distinta dirección y sentido. La velocidad inicial que adquiere tanto la pelota como el arquero es consecuencia del impulso generado, en el primer caso, por la fuerza aplicada por el jugador a la pelota y, en el segundo caso, por la reacción del piso sobre los pies del arquero, como consecuencia de la fuerza que hace éste sobre el mismo.

Entonces, cuando la fuerza aplicada no es ni paralela ni perpendicular al piso, se puede, como se dice en física, descomponer. Por ejemplo, pensemos en el caso en que una lámpara es sostenida por dos cuerdas. La lámpara tiene un peso; por lo tanto, la función de las cuerdas es generar una fuerza contraria al peso de tal manera que la lámpara no se caiga. Entonces, cada una de las cuerdas realiza una fuerza tal que la sumatoria de ambas da como resultado la fuerza del peso. Pero, obviamente, en sentido contrario; es decir, hacia arriba. Esto significa que la fuerza resultante que sostiene la lámpara se puede descomponer en dos fuerzas cuyas direcciones serían las direcciones de las cuerdas que la sostienen. Un caso semejante de fuerzas de distintas direcciones se daría si dos hombres tiraran de un mueble con dos sogas. Pero en este caso las fuerzas de las sogas darían como resultado la dirección en la que se va a desplazar el mueble que coincidiría con la dirección de la fuerza resultante.

En la figura 1 dos personas tiran de dos sogas realizando dos fuerzas en diferentes direcciones, que generan una fuerza resultante que desplaza al mueble.
En la figura 2 las sogas realizan dos fuerzas que generan una fuerza resultante que contrarresta al peso de la lámpara.

CAPÍTULO 6
LA PELOTA DOBLA

Un tiro libre cerca del área y de frente al arco siempre genera una expectativa de gol. Por esta razón, el equipo infractor, para defender su arco, suele ubicar una barrera formada por tres o cuatro jugadores frente al jugador que va a patear. El jugador ejecutante, para sortear la barrera, suele pegarle a la pelota por elevación y darle además lo que en la jerga futbolística se llama efecto, para que la pelota se dirija al lugar más alejado del arquero, que suele ser el ángulo del arco. Para elevar la pelota, el jugador debe aplicarle un impulso en un punto que esté por debajo de la recta, paralela al piso, que atraviesa el centro de gravedad del balón, cuya longitud es igual al diámetro, de tal manera que, como vimos en el capítulo 3, la dirección de la fuerza aplicada forme un ángulo con la horizontal (eje de las x) y con la vertical (eje de las y).

Ahora, ¿cómo se le debe pegar a la pelota de fútbol para que adquiera efecto?

Para darle efecto a la pelota de fútbol, el jugador debe pegarle de tal manera que la fuerza genere un torque. Para lograr esto, el jugador debe aplicarle al balón una fuerza tal que su dirección no pase por el centro de gravedad de la pelota de fútbol.

¿Dónde está el centro de gravedad de la pelota de fútbol? Podemos ubicar el centro de gravedad de la pelota en un punto que se encuentra en el centro geométrico del balón, conformada por el material con el que está construido y por el aire que lo mantiene inflado, considerando a la pelota de fútbol como una esfera. El lugar de ubicación de ese punto puede variar si la pelota, por alguna razón, no está inflada de manera homogénea o su forma no es regular. En este texto, vamos a considerar que el balón no presenta estas irregularidades.

Por lo tanto, si el jugador quiere que la pelota se eleve y además tenga efecto, debe aplicarle un impulso en un punto que esté por debajo de la recta paralela al piso que atraviesa el centro de gravedad del balón y, además, que no pase por el centro de gravedad del balón. Esta forma de patear la pelota también suele emplearse para ejecutar los tiros de esquina, ya sea para que la trayectoria de la pelota se cierre hacia el arco o, por el contrario, para que se abra, alejándose de este modo del arquero. Si el jugador ejecutante del tiro libre, para sorprender a los defensores, quiere que la pelota se desplace a ras del piso, le debe dar un impulso de tal manera que la dirección de la fuerza aplicada sea paralela al piso. Pero además, si desea que la pelota tenga efecto, la dirección de la fuerza aplicada no debe pasar por el centro de gravedad del balón.

En la figura A la pelota forma un torque y se eleva.
En la figura B la pelota forma un torque y se desplaza a ras del piso.

Cuando le pegamos a la pelota de fútbol con efecto, ésta rota y, mientras se traslada, va desviando su trayectoria. ¿Por qué sucede esto? El aire, como todo fluido, ejerce una resistencia al movimiento de la pelota de fútbol. El efecto más evidente que produce la resistencia del aire es el frenado del objeto y, si hay viento -aire en movimiento-, también su desviación.

Supongamos que la pelota de fútbol sale disparada a una velocidad de 20 km /h. Si viajáramos montados sobre ella y no hubiera viento, es decir que el aire estuviera quieto, entonces nos desplazaríamos a 20 km /h. y entonces el viento nos golpearía a esa velocidad. ¿La pelota de fútbol lo va a sentir de la misma manera? Como la pelota de fútbol rota, no todos los puntos de la pelota de fútbol se van a desplazar a la misma velocidad. El aire, al igual que todos los fluidos, tiene viscosidad y entonces se va a adherir al balón.

Por lo tanto, del lado donde la rotación de la pelota es en la misma dirección que el aire, la velocidad resultará mayor que 20 km/h., mientras que del otro lado será menor. Este cambio en la velocidad del flujo de aire debido a la rotación de la pelota será notable en su cercanía, y dependerá de la viscosidad del aire y de las turbulencias. La diferencia de velocidad genera una fuerza que es la que produce que la pelota doble. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de Magnus, en honor a Heinrich Magnus, que fue el que determinó la razón por la cual, si se dispara una bala de cañón haciéndola girar sobre sí misma, se desvía. La zona en la cual la velocidad es mayor, según el principio de Bernoulli, tiene una menor presión que la zona en la cual la velocidad es menor. Razón por la cual la pelota, si rota en el sentido anti horario, se desvía de derecha a izquierda. Y si rota en el sentido horario, se desvía de izquierda a derecha. Por lo tanto, la razón por la cual una pelota de fútbol lleva efecto es su rotación.

Cuando el balón lleva efecto presenta los dos movimientos característicos del denominado por la física movimiento circular: la rotación y la revolución. La rotación se produce cuando un objeto gira sobre un eje que se encuentra dentro de sí mismo y la revolución se produce cuando el eje es externo al objeto. La Tierra posee estos dos movimientos, rota porque gira sobre su eje, y también da revoluciones porque gira alrededor del Sol. En este caso, nuestra estrella más cercana se comporta como un eje de rotación externo, generando lo que se llama fuerza centrípeta.

La diferencia de velocidad del aire entre las caras opuestas del balón provoca una diferencia de presión que desvía la pelota.

¿Qué es la fuerza centrípeta?

En principio debemos decir que la palabra centrípeta significa “que busca el centro”.

La fuerza centrípeta es una fuerza que se hace presente cuando los objetos tienen una trayectoria de tipo circular. Por ejemplo, la fuerza centrípeta obliga a la Luna a mantener una trayectoria circular alrededor de la Tierra y a ésta a desarrollar una trayectoria elíptica alrededor del Sol. Comportamiento que se debe a la acción de la fuerza de gravedad. Por lo tanto, podemos decir que las fuerzas gravitacionales se comportan como fuerzas centrípetas. Pero en la trayectoria circular de los objetos, cuando se observa desde la perspectiva del objeto que rota, aparecen las llamadas fuerzas centrífugas.

¿Qué es la fuerza centrífuga?

El término centrífuga significa “que huye del centro”. Por lo tanto, a la fuerza centrífuga se la puede definir como una fuerza generada por un movimiento circular, que tiene una dirección perpendicular a la trayectoria y que actúa en un sentido contrario al centro. Nuestra percepción de la naturaleza depende en muchos casos del sistema de referencia desde el cual la observamos. Por ejemplo, si nos desplazamos en un automóvil a una alta rapidez, nuestra rapidez con respecto al automóvil es igual a cero, porque nos desplazamos en él. Sin embargo, para una persona que está parada sobre la vereda observándonos, nos desplazamos con la misma rapidez que la del automóvil. Es decir, que en un sistema de referencia nuestra rapidez es cero y en otro no.

Si observamos una lata que contiene una piedra y que, sujeta a una soga, se desplaza con un movimiento circular, vamos a observar que la piedra se mantiene en movimiento por la acción de la fuerza centrípeta. Es decir que la única fuerza que actúa sobre la piedra es la fuerza centrípeta que ejerce el fondo de la lata sobre ella. Ahora, si nos introducimos en el sistema de referencia de rotación, es decir: giramos con la piedra, vamos a observar que la piedra está sujeta a la acción de la fuerza centrípeta de la lata y de una fuerza centrífuga, que se produce como consecuencia de la inercia de la piedra; es decir, de su tendencia a seguir desplazándose a lo largo de una trayectoria recta. Si bien la fuerza centrífuga aparece como una fuerza tan real como la fuerza de gravedad, se debe resaltar que, a diferencia de esta última, la fuerza centrífuga no es el resultado de una interacción.

Sin embargo, para un observador que se encuentra en un sistema de referencia de rotación, la fuerza centrífuga es tan real como la fuerza gravitatoria. Y así como la gravedad está siempre presente sobre la superficie de la Tierra, la fuerza centrífuga se encuentra siempre presente en un sistema de referencia de rotación.

En la actualidad los seres humanos vivimos pegados a la superficie del planeta Tierra como consecuencia de la acción de la fuerza de gravedad. Pero no es disparatado pensar que en no mucho tiempo muchas personas puedan vivir en estaciones espaciales que, girando constantemente, provoquen una fuerza centrífuga, al igual que cuando hacemos rotar la lata, de tal manera que sus habitantes puedan vivir pegados al piso de la estación espacial, como la piedra se mantiene pegada al fondo del recipiente.

De este modo la fuerza centrífuga se comporta como la fuerza de gravedad, con la diferencia de que lo que llamamos en la Tierra arriba, en la estación espacial sería hacia el centro, y lo que en la Tierra llamamos abajo, en la estación espacial sería hacia afuera, es decir hacia el piso de la misma.

La cuerda con el movimiento circular genera una fuerza que apunta hacia el centro, llamada centrípeta, y desde la perspectiva del cubo, dentro de la lata, aparece otra fuerza que se aleja del centro, llamada centrífuga, que lo aplasta contra el fondo de la lata.

El efecto también es utilizado por los delanteros más habilidosos para, como se dice en la jerga futbolística, picar la pelota. ¿Cómo se pica la pelota de fútbol? Los delanteros, en algunas ocasiones, suelen definir las jugadas de gol picando la pelota por encima del arquero, cuando éste sale a tapar el arco. Es decir, provocando que la pelota de fútbol se eleve describiendo una trayectoria semejante a la de una parábola y a su vez rotando en sentido opuesto a su desplazamiento.

Para lograr esto, el jugador le debe aplicar una fuerza con el empeine, cuya dirección no sea ni paralela ni perpendicular al piso, sobre un punto que se encuentre por debajo de la línea recta horizontal imaginaria que pasa por el centro de gravedad del balón, que corresponde al diámetro del mismo, de tal manera de generar un torque. Cuando más abajo le pegue, mayor será el efecto que logre. Este fenómeno se produce por la misma razón que se genera el efecto en un tiro libre. Como ya explicamos anteriormente, cuando la pelota de fútbol rota, no todos los puntos de la misma se van a desplazar a la misma velocidad, ya que el aire, al igual que todos los fluidos, tiene viscosidad y entonces se va a adherir al balón.

Por lo tanto, del lado donde la rotación de la pelota es en la misma dirección que el aire, la velocidad resultará mayor que del otro lado. En este caso, en la parte superior del balón la velocidad del flujo del aire será mayor que en la parte inferior. Este cambio en la velocidad del flujo de aire debido a la rotación de la pelota será notable en su cercanía y dependerá de la viscosidad del aire y de las turbulencias. La diferencia de velocidad genera una fuerza que, como ya dijimos, se denomina fuerza de Magnus, que es la que produce que rote en el sentido opuesto a su desplazamiento y a su vez que disminuya la velocidad.

La mecánica rotacional también está presente en el desplazamiento de los jugadores y responde al siguiente interrogante.

¿Por qué doblamos las piernas cuando corremos?

Así como dijimos que los objetos tienen una resistencia a cambiar su estado de reposo o de movimiento, también poseen una resistencia a cambiar su estado de rotación. Es decir, poseen lo que se denomina una inercia rotacional.

Un objeto que gira alrededor de un eje, ya sea imaginario o real, tiende a seguir girando, al menos que se le aplique una fuerza que genere un torque, y que entonces modifique su estado rotacional. Por ejemplo, si tenemos una rueda girando debemos aplicarle una fuerza de tal manera que produzca un torque en sentido opuesto a la rotación.

Por el contrario, un objeto que no gira, tiende a permanecer sin girar, al menos que se le aplique una fuerza que genere un torque que modifique su estado. Por ejemplo, si queremos que la pelota de fútbol lleve efecto, debemos aplicarle una fuerza que genere un torque para de ese modo vencer al fenómeno que se denomina inercia rotacional.

La inercia rotacional, como la inercia lineal, depende de la masa. Pero a diferencia de esta última, la inercia rotacional depende de la distribución de la masa. Cuando mayor distancia tenga la masa de su eje de rotación, mayor será la inercia rotacional que posea. Es decir, mayor tendrá que ser el torque para que comience a girar o para detener su rotación. Esto podemos observarlo claramente en un péndulo. Cuando más largo sea el hilo que sostiene la masa, más grande es la inercia rotacional; por lo tanto, mayor será el torque que debe hacer la fuerza para que comience a girar. Por el contrario, si acortamos el hilo del péndulo más fácilmente comenzará a girar y, por lo tanto, la fuerza deberá hacer un menor torque. Esto también podemos verificarlo haciendo oscilar nuestra pierna extendida y haciéndola oscilar doblada. Vamos a observar que en el primer caso, nos va a resultar más dificultoso hacerla oscilar. Es decir, ocurre algo semejante a lo que sucede con el péndulo. Este fenómeno también podemos observarlo cuando corremos o caminamos. Prueben correr o caminar con las piernas estiradas. Sin necesidad de experimentarlo, seguramente ya habrán imaginado lo dificultoso que resultaría. Por esta razón, doblamos las piernas cuando corremos o caminamos. Los jugadores de piernas más cortas pueden correr con pasos más rápidos porque, al estar su masa más cerca del eje de rotación imaginario que pasaría por la articulación de la rodilla, menor es su inercia rotacional.

¿Por qué un jugador cae hacia delante?

Una situación común es la caída de un jugador, ya sea por una infracción o por una circunstancia del juego. Y el jugador cae, como ya dijimos, porque su centro de gravedad queda fuera de la superficie delimitada por sus pies y entonces pierde estabilidad. Pero, ¿por qué cae hacia delante? El jugador que comete la infracción provee a la víctima de un punto de contacto y esto genera un eje imaginario de rotación. Entonces, ¿qué fuerza hace caer al jugador? La víctima de la infracción, al tomar contacto con el infractor, desplaza su centro de gravedad hacia delante, de tal modo que queda por fuera de su base de sustentación. Por lo tanto, la fuerza que impulsa al jugador hacia el piso es la fuerza de su propio peso que, como dijimos, se concentra en el centro de gravedad. Si bien la fuerza del peso es hacia abajo, el cuerpo se desplaza hacia delante como consecuencia de que la dirección de la fuerza del peso no pasa por el punto fijo o punto de contacto entre los dos jugadores.

Para ilustrar esta situación, pensemos en una puerta giratoria. Para hacerla girar, necesitamos hacer una fuerza sobre ella. Pero la dirección de esta fuerza no debe pasar por el punto que sostiene a la puerta, es decir por el punto fijo, ya que no giraría.

Por lo tanto, el punto de contacto entre el infractor y la víctima actúa como el punto fijo por donde pasaría un eje de rotación imaginario. Esto significa que, si no estuviera el piso, el jugador rotaría, al igual que una puerta giratoria. A este fenómeno que se produce cuando la dirección de la fuerza no pasa por el punto fijo o punto de contacto entre los cuerpos, la física lo llamó torque.

Otro ejemplo que podemos citar es el de una rueda. En este caso, el punto fijo es el centro geométrico de la rueda. Si aplicamos una fuerza de tal forma que su dirección pasa por el punto fijo, la rueda no gira, sino que resbala.

El punto de contacto entre el infractor y la víctima actúa como un punto fijo, provocando de este modo la tendencia de este último a rotar.

CAPÍTULO 7
MATAR LA PELOTA

¿Cómo se “mata” la pelota de fútbol?

Los jugadores más habilidosos suelen, como se dice en la jerga futbolística, matar la pelota con el pecho o con el pie; es decir, lograr que la misma no rebote. ¿Cómo se logra esto? Extendiendo el tiempo de choque, para disminuir la fuerza de impacto. ¿Por qué, si extendemos el tiempo del choque, disminuye la fuerza de impacto de la pelota? La fuerza de impacto es directamente proporcional al impulso que trae el objeto e inversamente proporcional al tiempo de choque del objeto contra una superficie. Esto significa que, cuanto mayor sea el impulso que trae la pelota, mayor será la fuerza de impacto que ejerza sobre la superficie con la que choca y que, al ser mayor el tiempo de impacto de la pelota contra la superficie con la que choca, menor será la fuerza de impacto. Por lo tanto, cuando va una pelota hacia el jugador, éste obviamente no puede disminuir su impulso. Pero sí puede disminuir la fuerza de impacto sobre su cuerpo, aumentando el tiempo de choque de la pelota. Y esto es lo que hacen los jugadores cuando matan la pelota.

Para matar la pelota con el pie, el jugador debe acompañar los últimos momentos de la caída del balón con el empeine para, de este modo, aumentar el tiempo de impacto y disminuir la fuerza de choque. Como consecuencia, la fuerza de reacción de la superficie del zapato es tan pequeña que la pelota de fútbol queda como dormida sobre el pie del jugador.

Otra situación del juego que evidencia este fenómeno es aquella en que el jugador mata la pelota con el pecho. En esta circunstancia, el jugador hunde el pecho. De esta manera, extiende el tiempo de impacto y disminuye la fuerza de impacto de la pelota, logrando como consecuencia que la fuerza de reacción de la superficie de su cuerpo sea pequeña y entonces el balón quede casi dormido sobre su pecho.

Cuando el jugador hunde el pecho, aumenta el tiempo del impacto del balón y la fuerza de reacción es pequeña. Por esta razón el jugador puede “matar”·la pelota.

Podemos observar un fenómeno semejante cuando golpeamos un almohadón con el puño. Al ejercer una fuerza sobre el almohadón, éste se hunde como el pecho del jugador, produciendo de este modo el aumento del tiempo del impacto y, por lo tanto, una disminución de la fuerza del choque, de tal modo que no nos duele porque, al ser la fuerza de impacto pequeña, la fuerza de reacción del almohadón sobre nuestro puño también es pequeña.

No ocurre lo mismo si golpeamos una pared con el mismo impulso; es decir, moviendo el puño a la misma velocidad con que golpeamos el almohadón. En este caso, nos va a doler porque, al ser pequeño el tiempo de choque, la fuerza del impacto va a ser mayor y, por lo tanto, la fuerza de reacción sobre el puño también va a ser mayor.

También el arquero recurre a este fenómeno de la naturaleza cuando debe atajar una pelota.

¿Por qué el arquero hunde su abdomen cuando ataja la pelota de fútbol?

Un movimiento natural de los arqueros cuando la pelota va a media altura, con mucha potencia y al centro del arco es extender los brazos hacia delante y hundir el abdomen para amortiguar el golpe del balón. De este modo, genera un fenómeno semejante al logrado por el jugador que mata la pelota. Produce un aumento del tiempo del choque y, como consecuencia, una disminución de la intensidad de la fuerza del choque.

¿Por qué cuando un jugador comete una infracción, sin intención o con intención, en algunas oportunidades también queda dolorido?

Cuando un jugador golpea a otro, la víctima ejerce una fuerza de reacción sobre el infractor, como lo explica la tercera ley de Newton, razón por la cual éste puede quedar también dolorido. Para evitar esto, los jugadores suelen ponerse almohadillas en las medias para protegerse los talones de los golpes. Estos protectores están hechos con un material que, además de aislar esa parte del cuerpo, por su flexibilidad logran extender el tiempo de choque del golpe y, de ese modo, disminuir la fuerza de impacto que puedan sufrir, ocurriendo algo semejante a lo que sucede cuando golpeamos el almohadón con los puños.

Los efectos de este fenómeno también lo podemos observar cuando se produce un gol.

¿Por qué, cuando se produce un gol, la pelota de fútbol suele quedar en el fondo del arco?

El gol siempre genera dos sentimientos encontrados: la tristeza y la alegría. Pero, más allá de esos sentimientos, ese choque mágico de la pelota de fútbol con la red, en algunos casos nos permite observar la disminución de la fuerza del impacto como consecuencia del aumento del tiempo del choque. Cuando la pelota choca contra la red, cuando ingresa al arco, hace un movimiento tal, por la característica del material con la que está construida, que extiende el tiempo de impacto, de tal modo que la fuerza de choque disminuye, provocando que la pelota quede en el fondo del arco, ya que la fuerza de reacción de la red es pequeña. Cuando la red del arco está muy tensa, el tiempo de impacto es menor y entonces la fuerza de choque es mayor, y la pelota sale del arco, como consecuencia de la fuerza de reacción.

Sin embargo, esta regularidad de la naturaleza en algunos casos resulta beneficiosa para algunos jugadores.

¿Por qué en algunas situaciones es más difícil marcar a un jugador de gran contextura física?

Si bien, en algunas situaciones del juego, los jugadores que poseen una gran contextura física se encuentran en condiciones desfavorables, en otras circunstancias, su tamaño los favorece. Por ejemplo, si lo analizamos en términos de energía, el jugador que posee una gran contextura física posee una masa grande y, por lo tanto, cuando adquiere una alta velocidad, es portador de una gran cantidad de energía. Esto hace que en algunas circunstancias resulte dificultoso marcarlo. Si dos jugadores se desplazan a la misma velocidad, va a poseer mayor energía cinética aquel jugador que tenga mayor masa. De este modo, el jugador que posee una gran contextura física, se hace más difícil de marcar porque, cuando se le interpone un defensor, le imprime una fuerza de impacto muy grande, como consecuencia de la gran cantidad de energía cinética que lleva. Esta situación suele desacomodar al marcador, quedando de este modo el atacante en condiciones más favorables.

Podemos citar a grandes delanteros del fútbol argentino que se han destacado por ser portadores de una gran cantidad de energía cinética durante su desplazamiento como consecuencia de su contextura física. Entre ellos, el Tanque Rojas, el Matador Alberto Kempes y el Torito Funes. Y, por supuesto, como en el caso de jugadores habilidosos, también hay miles de jugadores anónimos con estas características desparramados por los campos de juego de todo el país.

También experimentamos la fuerza de impacto cuando la pelota choca contra nuestra cabeza.

Esta regularidad de la naturaleza también suele ser aprovechada por los arqueros cuando deben rechazar un centro que llega sobre el área.

¿Por qué los arqueros utilizan los puños para rechazar la pelota de fútbol?

En primer término, debemos decir que los arqueros utilizan los puños para rechazar una pelota de fútbol que viene por el aire, como consecuencia de un centro, porque les resulta más cómodo que si lo hicieran utilizando otra parte del cuerpo. Y en segundo término, debemos decir que esto es posible porque los puños son unas de las partes duras del cuerpo y, entonces, el tiempo de impacto de la pelota sobre ellos es pequeño, logrando de este modo que la misma salga disparada a una distancia considerable con sólo dejarla rebotar, sin necesidad de proveerle un impulso extra, si el impulso con el que fue lanzada por el jugador que pateó al arco fue grande. Sin embargo, la velocidad con la que salga la pelota disparada luego del choque con los puños va a depender, además de la velocidad con que se desplaza, del tipo de guantes que tenga el arquero. Si posee guantes muy mullidos, el tiempo del impacto se va a extender y, por lo tanto, la fuerza de choque va a disminuir y, así, la fuerza de reacción va a ser pequeña y entonces la pelota va a salir disparada con una baja velocidad, alejándose a una corta distancia.

Pero si la pelota de fútbol no llega con una alta velocidad, más allá de las características de los guantes, el arquero debe darle un impulso extra para que la velocidad con la que salga disparada luego del choque sea más grande, y de esa manera se pueda alejar a una mayor distancia.

Algunos de los grandes goleadores o de los grandes defensores que ha tenido y tiene el fútbol se han destacado por ser grandes cabeceadores. Cualidad que les ha permitido hacer goles o ser efectivos cuando han tenido que alejar la pelota del área. La frente es una de las partes más duras del cuerpo; por lo tanto, cuando la pelota choca contra ella, el tiempo de impacto es pequeño y la fuerza de impacto es grande. Esto genera que la fuerza de reacción sea también grande. De este modo, cuando la pelota se desplaza con una velocidad grande hacia el área, el defensor con casi ningún esfuerzo logra alejarla poniendo la cabeza de tal manera que la pelota choca contra su frente y sale impulsada en dirección al campo rival o hacia los laterales.

Por el contrario, el delantero suele aprovechar este fenómeno físico para generar una situación de gol cuando la pelota llega al área en forma de centro o como tiro al arco con una velocidad grande, poniendo la cabeza de tal manera que, cuando el balón rebota contra su frente, se dirige hacia el arco al lugar más alejado del arquero.

Si la pelota no va con una velocidad muy grande, tanto el defensor como el delantero suelen darle un impulso extra con la frente para que adquiera una mayor velocidad.

CAPÍTULO 8
ROCES

¿Qué tipos de energías se producen durante un partido de fútbol?

Como vimos, durante el desarrollo de un partido de fútbol, se manifiestan tres tipos de energía: energía cinética, consecuencia del movimiento de la pelota, los jugadores y el árbitro; energía potencial gravitatoria, consecuencia de que la pelota se eleva, como así también los jugadores por diferentes situaciones del juego y energía calórica, producida por los roces.

Los dos primeros tipos de energía se van transformando una en otra de acuerdo a la circunstancia del juego pero, a su vez, como consecuencia del rozamiento, ya sea entre los jugadores, entre la pelota y el piso, o entre el balón y los jugadores, entre otras, la energía cinética se transforma en energía calórica. Cuando ocurre este fenómeno, la energía calórica no puede volver a transformarse ni en energía cinética ni en ningún tipo de energía. Es decir que es un proceso irreversible.

El calor producido en las diferentes situaciones del juego -choque de la pelota contra el piso, rozamiento de los pies del jugador cuando corre o camina, etc.- no se puede utilizar para generar trabajo y se disipa aumentando la entropía del Universo.

¿Se puede utilizar la energía calórica que se produce durante un partido de fútbol?

Esta energía no se puede utilizar porque no está organizada y entonces no es útil para generar trabajo y, por lo tanto, se pierde. Para que la energía se pueda utilizar debe estar organizada como sucede, por ejemplo, con la energía producida en los motores a combustión. Aunque en todos los casos, y como expresa la Segunda ley de la termodinámica, en toda transformación de energía siempre hay una porción que se degrada y que no puede utilizarse para producir trabajo. Sin embargo, vale destacar que es posible el proceso inverso; es decir, transformar todo el trabajo en calor. Como por ejemplo cuando nos frotamos las manos para calentarnos. Todo el trabajo que realizamos para vencer la fricción, que se produce entre las palmas de nuestras manos, se convierte en calor.

Por supuesto que un partido de fútbol es sólo un ejemplo de las innumerables situaciones cotidianas que suceden a cada instante en las que se genera energía calórica como consecuencia del rozamiento, de modo desorganizado. Entre tantas otras situaciones, ocurre este fenómeno cuando caminamos, cuando chocan dos autos, cuando nos frotamos las manos, etc.

La energía calórica producida durante un partido de fútbol al igual que la energía calórica producida diariamente en el planeta Tierra por rozamiento, está desorganizada y entonces se dispersa por el Universo.

Hasta el siglo XIX, cuando los científicos descubrieron que el flujo de calor es un flujo de energía, se pensaba que el calor era un fluido invisible, al que llamaban calórico, y que tenía la capacidad de fluir, como el agua, de un cuerpo caliente a un cuerpo frío. A partir de ese descubrimiento, cuando la ley de conservación de la energía se aplica a sistemas térmicos se denomina Primera ley de la termodinámica, que dice que la energía no se puede crear ni destruir, sino que se transforma.

En teoría y como lo expresa la Primera ley de la termodinámica, la energía calórica producida durante un partido de fútbol se podría utilizar para generar trabajo o energía útil.

¿Por qué esto no es posible en la práctica? En la práctica, esto no es posible debido a que las diferencias de temperaturas que se producen por el rozamiento en diferentes situaciones del juego son muy pequeñas. Por ejemplo, cuando la pelota rebota en el piso, se produce energía calórica como consecuencia del choque, pero la diferencia de temperatura que se produce entre la superficie de la pelota y el entorno es muy pequeña. Y entonces, el calor producido por el rozamiento se disipa en el campo de juego o en el aire. Lo mismo sucede en las diferentes situaciones del juego.

Para que la energía producida durante un partido de fútbol se pueda utilizar para generar un trabajo, se tendrían que lograr grandes diferencias de temperatura como se logran, por ejemplo, en las centrales térmicas, entre la zona de generación de vapor y la zona de condensación. Aunque, como ya dijimos, como sucede con todas las máquinas térmicas, hay una porción de energía que se degrada y que no puede utilizarse para producir trabajo.

¿Qué es una máquina térmica?

El calor fluye naturalmente de una zona de alta temperatura a una zona de baja temperatura. Por esa razón, si ponemos un cubo de hielo en un vaso con un líquido que se encuentra a temperatura ambiente, observamos que el hielo se funde. En una máquina térmica ocurre el mismo fenómeno: el calor fluye de una zona de alta temperatura a una zona de baja temperatura. Y ese calor es utilizado para producir un trabajo. Por lo tanto, una máquina térmica se puede definir como un dispositivo capaz de transformar la energía calórica en trabajo.

El calor generado, ya sea por combustibles fósiles, por fisión nuclear o de otra forma, es absorbido por un fluido que al expandirse pone un funcionamiento las piezas de una máquina, como sucede por ejemplo en los motores. El calor generado por la combustión del combustible expande los gases y estos ejercen una presión sobre el pistón del motor realizando un trabajo que lo pone en movimiento. Sin embargo, vale aclarar que, si se realiza trabajo sobre una máquina térmica, el calor puede fluir de una zona de baja temperatura a una zona de alta temperatura, como sucede en las heladeras o en un aparato de aire acondicionado.

¿Qué sucede con la energía calórica producida durante un partido de fútbol?

Como dijimos, la energía calórica producida durante un partido de fútbol no se puede utilizar para generar trabajo porque está desorganizada. Entonces, se disipa por el Universo produciendo lo que en física se denomina desorden, situación que para los seres humanos pasa desapercibida. Para medir este fenómeno, originado por la energía calórica que no se puede aprovechar, la termodinámica utiliza una magnitud física denominada entropía, que está relacionada matemáticamente con el calor y la temperatura. Por lo tanto, la entropía se puede definir como una medida del desorden de un sistema físico.

¿Es antinatural el desorden en el Universo?

En realidad, y contrario a lo que se podría suponer, todos los sistemas tienden al desorden naturalmente. Por ejemplo, si tenemos moléculas de aire encerradas en un recipiente y las dejamos salir, se van a desordenar naturalmente. Es decir, es poco probable que escapen del recipiente y se agrupen ordenadamente en algún lugar de la habitación. Como es muy poco probable que toda la energía calórica producida por los rozamientos durante un partido de fútbol se ordene espontáneamente y pueda utilizarse para producir trabajo.

Sin embargo, la Segunda ley de la termodinámica, a diferencia de la primera, que contempla todas las posibilidades, está planteada en términos de probabilidades. Es decir: si bien en la situación mencionada anteriormente, es extremadamente poco probable que las moléculas de aire que escapan de un recipiente se agrupen ordenadamente, la Segunda ley de la termodinámica deja abierta la posibilidad, aunque sea remota, de que por azar esto ocurra, aunque haya que esperar varias veces la edad del Universo. Por lo tanto, la probabilidad de que suceda es tan pequeña que corresponde prácticamente a una imposibilidad.

CAPÍTULO 9
Y LA PELOTA SE HIZO SATÉLITE

¿La pelota de fútbol se puede convertir en satélite?

Si respondemos desde el punto de vista estrictamente científico, la pelota de fútbol o cualquier objeto se puede convertir en un satélite de la Tierra.

Pero, ¿qué condición se debería cumplir?

Cuando el jugador le da un impulso a la pelota de fútbol para dar un pase por elevación, observamos que el balón asciende hasta que alcanza una altura máxima y luego comienza a descender describiendo una trayectoria curva hasta que llega al piso. Pero, si el jugador le diera un impulso mayor, veríamos que la pelota se alejaría más, ascendiendo hasta una altura que sería la máxima posible, para luego comenzar a caer, pero esta vez describiendo una trayectoria curva menos visible. Y si el jugador le diera al balón un impulso muy pero muy, muy, muy grande o, para definirlo mejor, increíblemente grande, se alejaría de tal manera que lo perderíamos de vista, no percibiríamos la trayectoria curva y seguiría una trayectoria semejante a la forma de la Tierra, lo que haría que nunca cayera, convirtiéndose de este modo en un satélite de la Tierra. Por lo tanto, para que la pelota pueda convertirse en satélite de la Tierra, el jugador le debe dar un impulso de tal intensidad que le permita alcanzar la velocidad necesaria. Condición que debe cumplir cualquier objeto para convertirse en un satélite de la Tierra.

¿Qué es un satélite?

Podemos definirlo como un proyectil que cae alrededor de la Tierra, pero no hacia la superficie de la Tierra.

¿Qué velocidad tendría que alcanzar la pelota para convertirse en un satélite de la Tierra?

Para responder a esta pregunta, debemos considerar la velocidad con la que cae un objeto y la curvatura de la superficie de la Tierra. Si despreciamos la resistencia del aire cada un segundo de caída, un objeto desciende 4.9 metros por debajo del punto de lanzamiento, sin importar la velocidad horizontal con que fue lanzado. Por otro lado, por la curvatura de la Tierra, su superficie se desvía 4.9 metros de longitud vertical cada 8ooo metros. Por lo tanto, si estamos nadando, podríamos observar el mástil de un barco de 4.9 metros que se encuentra a 8 Km. Entonces, para que la pelota siga la forma de la Tierra y entre en órbita a su alrededor, deberá desplazarse a una velocidad de 8Km/seg., o lo que es lo mismo, a 29000Km/h.!!!, que es la velocidad que tienen los satélites artificiales más cercanos a la superficie terrestre. Como podrán observar, es imposible que un jugador pueda darle al balón un impulso tal para que pueda alcanzar ese valor de velocidad. Por otro lado, si por alguna extraña razón, llegara a esa velocidad rápidamente, se quemaría por la gran cantidad de calor producida por la fricción con la atmósfera.

Si el balón alcanzara la velocidad necesaria, se convertiría en satélite. Y si llegara a la velocidad de escape, se alejaría de la Tierra en línea recta.

¿Por qué la “pelota satélite” no cae?

En realidad, va cayendo pero alrededor de la Tierra y no hacia ella. Esto sucede porque la gravedad de la Tierra actúa sobre el balón en dirección perpendicular a su trayectoria y, por lo tanto, no afecta su rapidez, pero sí su velocidad porque va cambiando su dirección para mantenerse en órbita. Sin embargo, el balón podría alejarse de la Tierra.

¿En qué condiciones la pelota podría alejarse de la Tierra?

Como dijimos, si el balón fuese satélite de la Tierra, describiría órbitas circulares o elípticas alrededor de la Tierra, como lo hace la Luna, por la acción de la fuerza gravitatoria terrestre. Pero si, por alguna extraña razón, el efecto gravitatorio de la Tierra desapareciera, la pelota se alejaría describiendo una trayectoria recta, como también lo haría nuestra Luna. También la pelota de fútbol podría alejarse indefinidamente de la Tierra si alcanzara, luego de salir de la atmósfera, la llamada velocidad de escape, una velocidad mayor a la velocidad que necesita para entrar en órbita alrededor de la Tierra.

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Conversión a epub:
Editado por Carlos Galgano,
en la asignatura
"Taller de Bibliotecología : Libros Electrónicos",
agosto a diciembre de 2013.
Bajo la dirección de:
María Carolina Rojas / WebFH

Disponible en:
EBOOKS - EUDEM
http://www.mdp.edu.ar/eudem

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