Física manifiesta 2

Miguel Hoyuelos

Contenido

Prefacio. 4

Máquinas de movimiento perpetuo y las leyes de la termodinámica. 9

La rueda desbalanceada. 11

El molino de recirculación. 16

Máquinas magnéticas 19

Capilaridad: el agua sube una montaña. 23

El concepto de energía y la primera ley de la termodinámica. 27

Patentes del delirio perpetuo. 30

La segunda ley de la termodinámica y máquinas del segundo tipo. 33

Conclusión. 37

Relatividad especial y óptica relativista. 39

Gamow y el Sr. Tompkins 41

Relatividad especial 43

Las cosas se comprimen. 49

Las cosas se distorsionan. 51

Las cosas cambian de color 53

La luz en el túnel 54

Conclusiones 55

Caos 58

Estudio del movimiento a través de ecuaciones 60

Caos en sistemas simples — los primeros indicios 66

Sistemas lineales y no lineales 76

Caos y fractales 80

Péndulo doble. 85

Circuito de Chua. 86

Crecimiento de poblaciones 89

Economía. 94

Conclusiones 95

Números mágicos 97

Sección áurea. 97

¿La proporción entre hembras y machos en cualquier panal de abejas es igual a ϕ?  103

¿La espiral de un caracol nautilo tiene la proporción de la sección áurea?. 105

¿Las semillas de girasol crecen en espirales opuestos que tienen la proporción áurea?  107

¿La altura de una persona dividida la altura de su ombligo es igual a ϕ?. 110

El número α. 112

Una historia sobre cargas eléctricas 116

Numerología. 122

Otras constantes 124

Comparación entre ϕ y α. 124

Prefacio

Este libro contiene una presentación introductoria de algunas ideas en física que se desarrollaron desde mediados del siglo xix y, principalmente, durante el siglo xx. No se trata de una presentación sistemática de la física moderna sino, más bien, de un paseo corto por un paisaje amplio y fascinante que se detiene en algunos puntos de enorme belleza. El objetivo es transmitir el placer que ha sentido alguien que los ha visitado. Los temas tratados incluyen termodinámica, relatividad, cuántica y caos. El enfoque es similar al ya utilizado en Física Manifiesta en la magia, la cocina el deporte y la música, publicado en 2011, donde se tomaron ejemplos de las disciplinas mencionadas para introducir e ilustrar algunos principios básicos de física en diversos campos. Aquí también se busca la utilización de ejemplos en los que los conceptos físicos se manifiesten de la forma más clara posible.

El siglo xx ha sido revolucionario para la física. La relatividad, la mecánica cuántica y, durante las últimas décadas, la teoría del caos, han producido grandes modificaciones en la forma que vemos el mundo. En palabras del físico Joseph Ford:

La relatividad eliminó la ilusión newtoniana de espacio y tiempo absolutos; la teoría cuántica eliminó el sueño newtoniano de un proceso de medición controlable; y el caos elimina la fantasía laplaciana de la predictibilidad determinista.

El siglo xx parece haberse ensañado con las ideas de Newton. La cita anterior da la impresión de que sus principios han sido todos refutados. Sin embargo, si se desea estudiar física, en cualquier universidad del mundo, alguien que tenga esa impresión se sorprenderá al encontrar que lo primero que debe estudiar son las leyes de Newton. Quizá sospeche que el motivo no es más que un interés histórico. Luego deberá ir a un laboratorio, y volverá a sorprenderse al realizar experimentos con péndulos, poleas, y cuerpos que chocan o caen, y comprobar que todo lo que mide y observa satisface las leyes de Newton. Como se dijo antes, el siglo xx trajo grandes modificaciones a la forma en que vemos el mundo, pero las leyes de Newton siguen siendo válidas en el ámbito en el que valían antes: objetos que no se muevan demasiado rápido y que no tengan masa demasiado grande ni demasiado pequeña. (Si lo que se desea es comprender el origen de algunas propiedades de esos objetos, como el color o dureza, también se debe recurrir a la mecánica cuántica y al análisis a escala atómica). La conclusión, por ahora, es que el viejo Newton no ha sido proscrito por completo. Es cierto que la idea de espacio y tiempo absolutos ha sido descartada por la relatividad, pero también es cierto que sigue utilizando el principio de inercia (una ley de Newton), con la corrección de que los objetos, dejados libres, siguen trayectorias no necesariamente rectas, conocidas como geodésicas. Es cierto que la mecánica clásica, o newtoniana, falla cuando se la quiere aplicar a escala atómica. Pero la mecánica clásica emerge de la cuántica cuando se trata con objetos de todos los días[1]. También es cierto que el fenómeno del caos impone un límite drástico a la predictibilidad de un sistema que evoluciona en el tiempo, pero la teoría del caos analiza el comportamiento de sistemas deterministas en el sentido laplaciano, en los que la evolución está completamente determinada por la situación inicial, aunque esa situación nunca pueda conocerse con precisión infinita.

La revolución en física del siglo xx no anuló la validez de las leyes de Newton, o de la física clásica, en los casos en los que valía antes. Lo que logró desmentir fue la creencia demasiado optimista de que en el siglo xix ya se había logrado arrancar a la naturaleza todos los secretos de sus leyes fundamentales. Había más física que la clásica. Ese error nos vuelve hoy más cautos. A pesar de los grandes avances realizados, la comunidad científica no cree que se haya alcanzado la última palabra en física. Y cuándo o si alguna vez se logrará, no lo sabemos.

El primer capítulo es sobre termodinámica. Trata sobre las formas de la energía, como el calor o el movimiento, y sus transformaciones. Es un tema básico en el diseño de máquinas de todo tipo. Se hace una presentación de las leyes fundamentales de la termodinámica a través de la larga historia de intentos frustrados por construir una máquina de movimiento perpetuo. La termodinámica fue desarrollada durante la segunda mitad del siglo xix y constituye una parte de la física clásica que ha permanecido indemne a los cambios que introdujo el siglo xx; sus leyes se siguen considerando principios fundamentales de la naturaleza.

A partir de este punto el libro se introduce en las revoluciones en física del siglo xx. El segundo capítulo es sobre relatividad especial. Se presentan sus postulados básicos, que son asombrosamente simples si se tienen en cuenta sus extraordinarias consecuencias, como la distorsión del espacio y el tiempo. El problema de la óptica relativista, que también se analiza en este capítulo, es el de describir el aspecto que tendría el mundo si se pudiera viajar a una velocidad similar a la de la luz, o si la velocidad de la luz fuera mucho más pequeña.

El tercer capítulo es una introducción a la teoría del caos. El caos es un tipo de movimiento, o cambio, desordenado. Una de sus características principales es que una pequeña variación de la condición inicial produce grandes modificaciones en la evolución posterior. (Además se trata de una dinámica no periódica y acotada en el espacio). La teoría se empezó a estudiar a fines del siglo xix, pero se desarrolló recién en las décadas de 1970 y 1980 gracias, en gran parte, al uso de las computadoras. En una época en la que se tendía hacia un exceso de especialización en ciencia, la teoría del caos trajo un poco de aire fresco al lograr una gran transversalidad, por usar un término del ámbito político. Se aplica, por ejemplo, a sistemas mecánicos, astronomía, reacciones químicas, dinámica de poblaciones, circuitos electrónicos o cotizaciones de la bolsa.

En el último capítulo se comparan dos números mágicos: la sección áurea y la constante de estructura fina. Tienen características en común: ambos son números sin unidades asociados a leyes universales, es decir, a leyes que buscan la comprensión de la estructura del universo. En lugar de las similitudes, se hace mayor énfasis en las diferencias. Existen ejemplos en los que la sección áurea parece surgir de manera espontánea en algunas formaciones naturales. Sin embargo, la afirmación de que la sección áurea estaría en la base de la organización del universo es exagerada y seudocientífica. En cambio, la constante de estructura fina forma parte de otra de las teorías revolucionarias de la física: la mecánica cuántica (o, en forma más precisa, la electrodinámica cuántica).

A grandes rasgos, este libro pretende ser un paseo por cuatro teorías de la física de importancia fundamental: la termodinámica, la relatividad, el caos y la cuántica. Por supuesto, hay mucho más en estas teorías de lo que puede mostrarse aquí. Las visitas de unos pocos días a ciudades turísticas permiten, a veces, disfrutar de los atractivos principales y llevarse un recuerdo de las bellezas más destacadas. De manera similar, se busca presentar algunas ideas de esas teorías que queden en la memoria del lector como la visita a un lugar hermoso.

Los temas de los capítulos de este libro han sido expuestos en charlas de divulgación dictadas dentro del ciclo de conferencias que organizan la Asociación de Profesores de Física de la Argentina (sección Mar del Plata), el Instituto de Investigaciones Físicas de Mar del Plata y los Departamentos de Física de las Facultades de Ciencias Exactas y Naturales e Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata en el Centro Cultural Osvaldo Soriano.  Este ciclo de charlas se ha mantenido en el tiempo gracias al esfuerzo de Roberto Stimler. Agradezco a Alberto de la Torre, Héctor Mártin, Guillermo Martínez y Raúl Rossignoli por valiosos comentarios y sugerencias.

Como se dice en el prólogo del volumen anterior, no es necesario ser científico para disfrutar del placer asociado a esta actividad: el que se produce al comprender algo nuevo. Solo hace falta tener curiosidad y también estar dispuesto a realizar algún esfuerzo. La intención aquí es hacer que ese esfuerzo no sea demasiado grande y que el lector logre sentir el profundo placer que conlleva pasar de la incomprensión a la comprensión de algunos aspectos de la naturaleza. Ojalá lo pueda lograr.

Abril de 2016.

Capítulo 1

Máquinas de movimiento perpetuo y las leyes de la termodinámica

La búsqueda del móvil perpetuo ocupa en la historia de la ciencia un espacio notable. Los diseños realizados, los errores cometidos y los intentos por corregirlos contribuyeron en gran medida al desarrollo de la parte de la física que estudia las transformaciones de energía: la termodinámica. Estas transformaciones se refieren, por ejemplo, a la conversión parcial de calor en movimiento ordenado que tiene lugar en cualquier máquina que consume algún tipo de combustible, lo que da idea de la enorme importancia práctica que tiene la termodinámica. Una vez establecidas las leyes de la termodinámica durante la segunda mitad del siglo xix, quedó clara la imposibilidad de construir una máquina de movimiento perpetuo. Estas leyes están tan bien establecidas como la ley de la gravedad. Esperar que no se cumplan es equivalente a esperar que una piedra, al soltarla, no caiga.

Es importante distinguir entre el movimiento perpetuo que se tiene, por ejemplo, en un péndulo que idealmente carezca de rozamiento con el de una máquina de movimiento perpetuo. La máquina, además de funcionar en forma perpetua y autónoma (o sea, sin recibir energía del exterior), produce un trabajo útil como, por ejemplo, hacer girar una rueda, como se ve en la figura 1. Este trabajo útil no se puede extraer de un péndulo sin rozamiento porque, en cuanto uno lo intenta, el péndulo se frena y el movimiento perpetuo se destruye.

Figura 1.1: Esquema de máquina de movimiento perpetuo. Además de funcionar de forma autónoma, sin ayuda exterior, produce trabajo, como hacer girar una rueda.

La máquina de movimiento perpetuo se ha tornado sinónimo de quimera inalcanzable. Sin embargo, la fascinación que produce no cesa y los intentos por construir una continúan. De hecho, al observar un diseño, es casi inevitable pasar algunos minutos observando los mecanismos involucrados y analizando los detalles. La primera reacción es, en general, de escepticismo porque, aunque uno no conozca las leyes de la termodinámica, posee la intuición de que no es posible sacar algo de la nada, o producir energía o trabajo útil sin consumir energía de alguna fuente. Esta intuición se remonta a la antigüedad. Se trata de un principio metafísico que se expresa con la locución latina ex nihilo nihil (nada surge de la nada). La segunda impresión produce excitación, porque al observar el diseño parece que podría funcionar, lo que daría lugar a una revolución científica al descubrir una falla en las leyes de la termodinámica. La tercera impresión diluye la excitación y hace que uno retorne al escepticismo original porque invariablemente se encuentra alguna falla en el diseño.

En los párrafos que siguen se expondrán algunas máquinas de movimiento perpetuo que se diseñaron a lo largo de la historia, ordenadas en forma cronológica, y se intentará explicar, de la manera más simple posible, por qué no funcionan.

La rueda desbalanceada

El diseño más antiguo y del que se han hecho más variaciones a lo largo de la historia es el de la rueda desbalanceada. Su base está en la ley de la palanca. Imaginemos una varilla con dos pesos iguales en los extremos que se coloca en forma horizontal sobre un punto de apoyo que está en el centro. Como los pesos y los brazos de palanca son iguales, la varilla estará en equilibrio y no se moverá. Si el peso de la izquierda se desplaza un poco hacia el centro, la varilla empezará a rotar y, luego de algunas oscilaciones, la pesa más alejada quedará colgando hacia abajo. Ahora, en lugar de una varilla, se colocan varias que forman los rayos de una rueda. Mediante algún mecanismo, se hace que las pesas a la derecha de la rueda estén en el extremo de cada varilla mientras que las que están a la izquierda se desplazan un poco hacia el centro. Esta rueda estaría permanentemente desbalanceada y nunca dejaría de rotar.

El primer registro de una máquina de movimiento perpetuo es del astrónomo y matemático indio Brahmagupta, del siglo vii. Se trata de una rueda desbalanceada con rayos huecos llenos hasta la mitad de mercurio. Otros astrónomos de la India produjeron variaciones de esta rueda: Lalla en el siglo viii y Bhaskara ii en el siglo xii. El diseño de Bhaskara, que se muestra en la figura 2, está inspirado en la Dharma Chakra, o rueda de la ley, uno de los símbolos más importantes de la India (aparece en el centro de su bandera) que representa el eterno ciclo de muerte y renacimiento.

Figura 1.2: Rueda de Bhaskara, siglo xii, India. Los rayos de la rueda son huecos y están llenos hasta la mitad de mercurio. Por la inclinación de los rayos, la rueda, en teoría, debería girar en el sentido de las agujas del reloj. (Esquema de H. Schmeller, 1922, Beiträge zur Geschichte der Technik in der Antike und bei den Arabern, Erlangen: M. Mencke.)

El objetivo de Bhaskara parece haber sido dotar a la Dharma Chakra de movimiento perpetuo para transformarla en un símbolo más completo de eternidad. La rueda está formada por rayos huecos e inclinados como se ve en la figura 2. Cada rayo está lleno hasta la mitad de mercurio. Debido a la inclinación de los rayos, a la derecha de la rueda el mercurio se aleja del centro mientras que, a la izquierda, se acerca. Estos desplazamientos producirían diferencias de brazo de palanca que harían rotar la rueda en el sentido de las agujas del reloj. ¿Por qué no funciona? Si se observan los tubos que están justo abajo y arriba del eje se verá que, en ambos casos, el mercurio está desplazado a la izquierda. Esto hace que en la mitad izquierda de la rueda siempre haya un poco más de mercurio que en la mitad derecha. Esta diferencia compensa exactamente el desbalance debido a las diferencias de brazo de palanca. La rueda árabe de la figura 3 tiene problemas similares a los de la de Bhaskara.

Figura 1.3: Rueda árabe, siglo xiii. Los brazos extendidos a la izquierda harían girar la rueda en sentido opuesto a las agujas del reloj, pero se acumula más masa a la derecha que equilibra la diferencia del brazo de palanca. (H. Schmeller, 1922, Beiträge zur Geschichte der Technik in der Antike und bei den Arabern, Erlangen: M. Mencke.)

En occidente, el diseño más antiguo conocido es el de Villard de Honnecourt, un arquitecto francés del siglo xiii (figura 4). La idea de Honnecourt es simple y la razón por la que falla es bastante clara.

Figura 1.4: Rueda desbalanceada, dibujo de Villard de Honnecourt, c. 1230. La rueda tiene un número impar de pesos a lo largo de su circunferencia. (MS. 19093 French Collection, Bibliothèque Nationale, Paris. Wikimedia Commons.)

También entra dentro de la categoría de ruedas desbalanceadas. Se tiene una rueda con pesos adosados a lo largo de su circunferencia. Villard aclara que el número de pesos debe ser impar. Si se traza una línea vertical que pase por el eje de la rueda, debido a que el número de pesos es impar, siempre habrá un peso más en alguno de los costados. Esta diferencia mantendría a la rueda en movimiento perpetuo. Lo que sucede es que la rueda termina deteniéndose con uno de los pesos en su parte más baja, justo en el centro, e igual cantidad de pesos a ambos costados. También podría suponerse que los brazos de los pesos, con forma de martillos, están adosados a la rueda de tal forma que mantienen los pesos más alejados a uno de los costados de la rueda. Se trataría de un diseño muy similar a la rueda árabe de la figura 3, y con sus mismos defectos.

Leonardo da Vinci, entre los siglos xv y xvi, dibujó algunas variantes de ruedas desbalanceadas y dedicó tiempo a su estudio. Aunque Leonardo carecía de las herramientas teóricas que se desarrollaron durante el siglo xix, llegó a la conclusión de que esos diseños no podían funcionar y explicó esta imposibilidad utilizando argumentos similares a los que se presentan acá. Manifestó su escepticismo en los siguientes comentarios:[2]

Oh, buscadores de movimiento perpetuo, ¿cuántas quimeras vanas han perseguido? Vayan y tomen su lugar junto a los alquimistas.

También dijo,[3]

Los que quieren enriquecerse en un día, viven todo el tiempo en la pobreza, (...) como los ingenieros que quieren que el agua muerta dé vida a sí misma con movimiento perpetuo.

En este último comentario se refiere a un tipo diferente de máquina: los molinos de recirculación.

El molino de recirculación

Figura 1.5: Ejemplo de molino de recirculación. El agua que cae por la canaleta hace girar una rueda que, por medio de engranajes, activa una bomba que eleva el agua a su altura original. (Robert Fludd, 1617-24, Utriusque Cosmi Maioris scilicet et minoris Metafísica, physica atque technica Historia. Wikimedia Commons, Deutsche Fotothek.)

Robert Fludd fue un médico, alquimista, astrólogo, filósofo y místico inglés del siglo xvii. Entre sus muchos intereses se encontraban las máquinas de movimiento perpetuo. Publicó un libro con diseños de molinos de recirculación. Su componente básico es un tornillo de Aquímedes para elevar agua que, al caer, mueve una rueda de molino que, a su vez, activa al tornillo que eleva el agua. En la figura 5 la columna de la derecha es una bomba de agua con una cadena de discos de cuero que encajan perfectamente en su interior. El agua sube, se desplaza por la canaleta y mueve la rueda de la izquierda que, a través de distintos engranajes, mueve también la bomba de agua. Fludd atribuía este diseño a “cierto italiano”. Como Leonardo, también era escéptico acerca del posible funcionamiento de este tipo de máquinas. Escribió:[4]

El italiano, engañado por sus propios pensamientos, concibió que tanta agua sería bombeada como la necesaria para mantener la rueda perpetuamente en movimiento (...); pero dado que calculó las proporciones de potencia en forma equivocada, se engañó en la práctica (...)

Es innecesario precisar que este atractivo principio se ha ensayado varias veces por gente que a menudo era totalmente inexperta en principios mecánicos, y que no vio el serio error de estos dispositivos, y por lo tanto desperdició esfuerzo, dinero y tiempo en ideas viejas y sin valor.

El serio error al que se refiere Fludd es, simplemente, que la máquina no se mueve. El agua que caiga, y que mueva la rueda, no podrá hacer que vuelva a subir la misma cantidad de agua. El ciclo no se mantiene. El molino de recirculación nunca funcionó, pero muchos dedicaron tiempo y esfuerzo a estudiar variantes de la misma idea, que no pasaron del diseño en papel. Algunos de estos diseños fueron patentados en Gran Bretaña durante el siglo xix. Los mismos que Fludd, dos siglos antes, había considerado como ideas viejas y sin valor. El paso del tiempo no disminuye la fascinación que estas máquinas, todavía hoy, producen.

Figura 1.6: Otro molino activado por agua. Como en el ejemplo anterior, el agua, al caer, activa mecanismos que hacen que se eleve a sí misma. En este caso, además de un tornillo de Arquímedes, hay una bomba que funciona en paralelo. (Georg Andreas Böckler, 1661, Theatrum Machinarum Novum, placa 54. Wikimedia Commons, Deutsche Fotothek.)

Máquinas magnéticas

Athanasius Kircher fue un jesuita alemán que enseñó en Roma y que llegó a ser comparado con Leonardo da Vinci por la gran amplitud de sus intereses. En 1643 publicó Magnes sive de arte magnetica opus tripartitum, donde presenta cuatro diseños de máquinas magnéticas de movimiento perpetuo. Poco después, en 1648, John Wilkins, obispo y matemático inglés fundador de la British Royal Society, presentó una máquina magnética en su libro Mathematical Magick.

Figura 1.7: Máquina magnética de Wilkins, siglo xvii. La esfera grande, arriba a la izquierda, es un imán que atrae a la esfera metálica pequeña en el punto F. Se supone que la esfera pequeña debería caer por el agujero en el punto E y repetir el circuito indefinidamente. (Esquema de John Wilkins, 1707, The Mathematical and Philosophical Works Of the Right Reverend John Wilkins, Late Lord Bishop of Chester, incluyendo Mathematical Magick.)

La figura 7 muestra un esquema de Wilkins. El mismo diseño había sido publicado por Kircher pero, por alguna razón, la bibliografía sobre movimiento perpetuo suele atribuirlo a Wilkins. La esfera sobre el pilar, a la izquierda, es un imán. Sobre la rampa, en el punto F, hay una esfera metálica más pequeña. Por la atracción magnética, la esfera pequeña sube la rampa hasta que llega al punto E, donde hay un agujero por el que cae por la fuerza de gravedad. La esfera recorre el camino inverso por la rampa curva inferior hasta llegar al punto inicial, donde vuelve a subir atraída por el imán. Lo que en la práctica sucede es que, si el imán es lo suficientemente fuerte, la esfera no cae por el agujero sino que queda pegada al imán. Si, en cambio, la atracción magnética no es tan intensa, la esfera cae por el agujero pero la acción del imán continúa de modo que la esfera no llega a recorrer todo el camino de vuelta y se detiene en algún punto intermedio de la rampa inferior. Wilkins conocía la existencia de estas dificultades, sin embargo se mantenía optimista acerca de la posibilidad de que, en el futuro, se lograra el movimiento perpetuo con un dispositivo magnético:[5]

Ninguno de estos experimentos magnéticos que han sido hasta ahora descubiertos son suficientes para realizar movimiento perpetuo, aunque estas cualidades parecen las más adecuadas para alcanzarlo, y quizá, en algún momento, pueda ser obtenido de ellas.

En el siglo xix surgió la posibilidad de hacer funcionar esta máquina con una modificación: reemplazar el imán por un electroimán. Ahora, cuando la esfera cae por el orificio E atraída por el electroimán, toca un interruptor que lo desconecta, de modo que, empujada sólo por la fuerza de gravedad, llega hasta el punto inicial abajo a la derecha, donde toca otro interruptor que enciende el electroimán y vuelve a subir. La máquina funciona pero, por supuesto, no es de movimiento perpetuo. No es una máquina autónoma porque requiere una fuente de energía externa que es la batería que alimenta al electroimán. Un timbre funciona de la misma forma.

Figura 1.8: Máquina magnética de Kircher. Las cuatro piedras imán ubicadas en el círculo exterior producirían fuerzas sobre la rueda en el sentido de las flechas. (A. Kircher, 1643, Magnes sive de arte magnetica opus tripartitum.)

En la figura 8 se muestra un diseño del libro de Kircher. Hay cuatro imanes, indicados con las letras S, O, P y V. Se supone que los imanes producen fuerzas sobre la rueda del centro en el sentido de las flechas. En la práctica, las fuerzas magnéticas se comportan de forma más compleja y menos intuitiva. Si las flechas son metálicas, el imán las atrae sin importar si apuntan hacia él o en sentido contrario. El efecto neto serán fuerzas que pasan por el eje y que no producen rotación. Las dificultades que existen en comprender intuitivamente los detalles de la interacción magnética indujeron a suponer, como hizo Wilkins, que sería el tipo de fuerza más adecuado para lograr movimiento perpetuo. Esta suposición equivocada es la que ha perdurado con más fuerza hasta el día de hoy. Un gran número de máquinas de movimiento perpetuo actuales pretenden utilizar la fuerza magnética. Incluso pueden verse videos en Internet de máquinas que en apariencia funcionan. Ninguna ha superado un control riguroso. Un ejemplo más sirve para ilustrar los errores típicos de esta clase de diseños.

Figura 1.9: Rueda desbalanceada con imanes. Se supone que gira en el sentido de las agujas del reloj, pero las fuerzas magnéticas entre los imanes más cercanos se oponen a ese movimiento.

La figura 9 es una rueda que, en apariencia, se mantiene desbalanceada gracias a imanes. La rueda tiene ranuras con imanes que se pueden desplazar en la dirección radial. En el centro, sobre el eje, hay un imán fijo. Polos iguales se repelen, polos distintos se atraen. Los imanes de la derecha se alejan del centro, y los de la izquierda se acercan. El peso de los imanes haría rotar la rueda. En realidad, el mismo imán central frena la rotación. El cuarto superior izquierdo de la rueda tiene los imanes más cercanos al eje y los que más interactúan con el imán central con una fuerza de atracción. Esta fuerza, junto a la repulsión de los polos sur del lado derecho de la rueda, se opone a la rotación esperada. El resultado final es que la rueda no gira.

Una máquina de origen marplatense conocida como “transgenerador magnético” fue presentada en medios de comunicación de Argentina en 2004 como una especie de milagro tecnológico capaz de alimentar de energía gratis y no contaminante a autos, aviones, barcos, etc. En Internet pueden hallarse videos y planos. La descripción ni siquiera exhibe una idea clara que pueda dar alguna esperanza de que funcione. La falta de claridad es un recurso frecuente para ocultar defectos o errores. Luego de más de diez años de haber sido presentado, el “transgenerador magnético” no ha cumplido con sus promesas.

Capilaridad: el agua sube una montaña

Una de las principales motivaciones para la búsqueda de una máquina de movimiento perpetuo ha sido la observación del movimiento perpetuo natural. La naturaleza siempre está en movimiento, ¿por qué no intentar reproducirlo con una máquina? Un ejemplo es el fluir de los ríos, que puede aumentar o disminuir dependiendo de las estaciones, pero nunca cesa. El proceso completo es conocido como ciclo del agua: los rayos del sol evaporan agua de la superficie de lagos y mares, el vapor forma nubes, las nubes producen lluvia que alimenta a los ríos, los ríos fluyen a lagos y mares, y el ciclo se repite. No se trata de un movimiento perpetuo en el sentido que se usa aquí porque es necesaria una fuente de energía externa: el sol. Esta explicación del ciclo del agua, que hoy se aprende en las escuelas, parece simple. Sin embargo, no es obvia y tiene aspectos complejos que no se analizarán aquí. A la humanidad le ha llevado bastante tiempo descubrirla. Una de las razones es que, a simple vista, no parece posible que la evaporación sea suficiente para alimentar a los ríos de la Tierra. En el siglo xvii, la explicación era distinta.

Figura 1.10: El ciclo del agua, según una teoría del siglo xvii. En los lagos se forman remolinos debido a que el agua es absorbida en los lechos y conducida, a través de los canales oscuros subterráneos, hasta el interior de las montañas, donde surge como manantiales y regresa a los lagos a través de arroyos y ríos. Los cortes ilustran la creencia de que el agua era conducida a reservorios dentro de las montañas. (Ilustración de Athanasii Kircheri, 1665, Mundus subterraneus.)

Este tema nos conduce, otra vez, a Athanasius Kircher. En la figura 10 se reproduce un dibujo de uno de sus libros. La imagen ilustra la teoría popular de su época acerca del ciclo del agua. El agua de los lagos es absorbida desde el fondo formando remolinos. En el lecho del lago el agua se introduce en canales subterráneos, de color negro en la figura, que ascienden hasta las montañas, donde el agua surge en forma de manantiales que forman ríos que desembocan en el lago y el ciclo se completa. La pregunta inmediata es: ¿cómo puede el agua ascender por sí sola la altura de una montaña? La respuesta de la teoría es: por capilaridad. En un tubo capilar el agua asciende una altura de sólo algunos centímetros. Pero aún suponiendo que el agua pudiera subir una montaña por capilaridad, al llegar a la cima no manaría pues la misma fuerza de capilaridad le impide surgir.

¿La figura 10 tiene alguna relación con las montañas y lagos del sur de nuestro país? Probablemente no. Sin embargo, la conjetura no es del todo descabellada. Kircher recibía correspondencia de jesuitas que se hallaban en misiones en muchos lugares del mundo. Uno de ellos fue Nicolás Mascardi, que en sus cartas describió a Kircher aspectos de la naturaleza de la Patagonia y también observaciones de eclipses y cometas.

Volviendo al problema de la capilaridad, los argumentos anteriores se aprecian más claramente con un experimento a escala de laboratorio. Robert Boyle fue uno de los científicos más brillantes de la historia y es recordado, principalmente, por haber propuesto la ley de los gases en el siglo xvii. Boyle, quizá inspirado por la teoría del ciclo del agua de su época, propuso la máquina de movimiento perpetuo de la figura 11.

Figura 1.11: Máquina de capilaridad de Boyle, siglo xvii. El agua asciende a lo largo del tubo por efecto de la capilaridad. Luego cae por gravedad y hace girar una rueda. En la práctica, la misma fuerza de capilaridad impide al agua caer.

El agua asciende por capilaridad por el tubo que se curva en la parte superior. El agua cae por el extremo del tubo y puede realizar trabajo como, por ejemplo, mover una rueda. El efecto de capilaridad tiene su origen en una fuerza de atracción entre el tubo y el agua: el agua sube porque las paredes del tubo tiran de ella hacia arriba. Pero el mismo efecto existe en el extremo del tubo desde el cual supuestamente el agua debería caer. El agua no cae porque la misma fuerza de capilaridad la retiene.

Podrían incluirse muchos más ejemplos de distintos tipos de máquinas. Durante los siglos xviii y xix la rueda desbalanceada no fue olvidada. Se diseñaron varios modelos nuevos, cada vez más complejos. Todos pueden considerarse variantes, más o menos sofisticadas, de las ideas de Brahmagupta, Lalla y Bhaskara. La repetición de intentos similares a lo largo de la historia es un indicio de lo atractivo que resulta la idea. Las causas son, quizá, la sencillez de los diseños y la impresión de que el éxito está al alcance de la mano; sólo falta una pequeña modificación o reducir un poco la fricción. Pero ninguna modificación ha funcionado y la fricción nunca es el problema principal. Incluso imaginando la ausencia de fricción, los diseños no funcionan.

El concepto de energía y la primera ley de la termodinámica

Durante el siglo xix se desarrollaron las herramientas teóricas necesarias para poder analizar las máquinas que funcionan en forma cíclica. Un paso importante fue dado por Thomas Young, considerado el primero en utilizar el concepto de energía en el sentido moderno, en 1807. Los intereses de Young eran amplios. Su nombre aparece al estudiar elasticidad de un cuerpo, caracterizada por el “módulo de Young”, o la interferencia de la luz, en el “experimento de Young”. También fue un pionero en el estudio de los jeroglíficos egipcios.

Existen dos tipos básicos de energía: la potencial y la cinética. Un cuerpo tiene energía potencial si tiene la capacidad latente de entrar en movimiento. Por ejemplo, una pelota que se encuentre a dos metros de altura tiene mayor energía potencial que otra que se encuentre al ras del piso solo por tener la capacidad de caer. Dentro de nuestros cuerpos también existe esta capacidad latente de entrar en movimiento, y lo mismo se tiene en el tanque de nafta de un automóvil. Este último tipo de energía es más comúnmente llamada energía química. En física, el término “energía potencial” tiene un significado más restringido y sólo se refiere a las situaciones en las cuales dicha energía puede expresarse en función de la posición del cuerpo en el espacio, como en el caso de la pelota que está a una altura determinada. En el caso de la energía en nuestros cuerpos o en el tanque de un auto la situación es más compleja, sin embargo también podemos referirnos a este tipo de energía como “potencial” en el sentido más amplio mencionado antes, o sea, como la capacidad latente de entrar en movimiento. Pero un cuerpo tiene energía no sólo por tener la capacidad de moverse sino también por estar moviéndose. Este tipo de energía es la cinética. Cuando la pelota cae, su energía potencial disminuye porque pierde altura, pero aumenta su energía cinética, porque gana velocidad, de modo tal que la suma de las dos se mantiene constate. Luego de algunos rebotes, la pelota se queda quieta en el suelo. ¿Qué sucedió con la energía que tenía? Aunque la pelota parezca estar completamente quieta, en realidad se está moviendo. Pero ahora, en lugar de tratarse de un movimiento ordenado de toda la pelota, es un movimiento desordenado a nivel microscópico de las moléculas que la componen. Si pudiéramos ver a escala atómica veríamos que los átomos y moléculas de la pelota se están sacudiendo más violentamente que antes de caer. Este aumento del movimiento a nivel microscópico puede ser detectado como un cambio de temperatura. En un ejemplo como el de la pelota, el cambio de temperatura es muy pequeño, pero puede ser detectado con los instrumentos adecuados. La energía cinética del movimiento desordenado a nivel microscópico es más comúnmente llamada energía térmica.

En 1842, el médico alemán Julius von Mayer propuso una de las leyes más importantes de la física: la ley de conservación de energía, también conocida como la primera ley de la termodinámica. La propuesta de Mayer fue apoyada y confirmada por trabajos casi simultáneos de James Joule. La energía puede transformarse de un tipo a otro, pero la suma siempre se mantiene constante. Esta ley prohíbe la creación de una máquina de movimiento perpetuo, pues tal máquina crearía energía de la nada (se trata, en general, de energía cinética del movimiento de, por ejemplo, una rueda como en la figura 1).

A principios del siglo xx un inventor presentó una máquina de movimiento perpetuo en la oficina de patentes de Argentina. Se le contestó con una nota que decía que su máquina violaba principios fundamentales de la mecánica y la hidráulica. Él respondió diciendo: “Las leyes mecánicas e hidráulicas no son importantes pues estoy convencido de mi teoría”. Aquí surge el siguiente dilema: ¿por qué confiar en las viejas leyes de la física y no en una teoría novedosa y revolucionaria? El origen de esta disputa está en la diferencia de criterios para determinar qué es lo verdadero. El criterio que se utiliza en ciencia para determinar la veracidad de una afirmación es el de la comprobación experimental. Se acepta como verdadera la ley de conservación de energía no porque von Mayer haya sido un científico prestigioso —de hecho no lo era— ni porque tal ley haya sido impuesta por una ortodoxia, sino únicamente porque todos los experimentos la confirman. Cada vez que se hacen mediciones cuidadosas la naturaleza siempre se comporta de acuerdo con la ley de conservación de energía. Otro argumento importante a favor de la conservación de energía es que esta ley permaneció inmutable luego de las revoluciones de la relatividad y la mecánica cuántica del siglo xx. Lo mismo sucedió con la segunda ley de la termodinámica, de la que se hablará más adelante. Todas las fuerzas de la naturaleza (eléctrica, magnética, gravitacional y nucleares) se comportan de tal forma que conservan la energía. La única forma de construir una máquina de movimiento perpetuo sería utilizando un tipo de fuerza totalmente distinta de las conocidas y jamás observada.

Patentes del delirio perpetuo

Desde 1775, antes de que se establecieran las leyes de la termodinámica, la Academia de Ciencias de Francia rachaza contestar cualquier propuesta sobre máquinas de movimiento perpetuo. Según un artículo de la Enciclopedia Británica, de 1999, las oficinas de patentes de Gran Bretaña y Estados Unidos hace mucho tiempo que dejaron de considerar presentaciones de máquinas de movimiento perpetuo. Estas afirmaciones, junto con las leyes de la termodinámica, inducen a pensar que el afán por construir máquinas de movimiento perpetuo se ha desvanecido y que sólo tienen un interés histórico. La situación actual, en realidad, no es así. Con ciertas limitaciones, se siguen patentando máquinas de movimiento perpetuo. Esas patentes no deben interpretarse como una garantía de funcionamiento sino, más bien, como un certificado de cierta originalidad. Hay una larga lista de patentes de las últimas décadas, de países como Estados Unidos, Francia, Alemania o Gran Bretaña.

En 1976 se patentó en Estados Unidos un “generador de energía por desplazamiento de fluidos impulsado gravitacionalmente”. Consistía en un conjunto de cilindros adosados a una cinta sin fin con pistones que permitían la entrada y salida de agua de modo que los cilindros de la izquierda estuvieran llenos de aire y los de la derecha llenos de agua. En teoría, la flotabilidad de los cilindros hace rotar la máquina. En la práctica, la máquina no funciona ni siquiera suponiendo la ausencia de rozamiento en todos sus componentes. Pero este defecto no es, quizá, el más grave. Su otro defecto es que no es original. Fue patentada antes, en 1913, en Argentina, con una modificación: en lugar de cilindros con pistones usa fuelles, como se ve en la figura 12.

Figura 1.12: Máquina patentada en Argentina, en 1913. Está sumergida en agua y los fuelles contienen aire. El extremo gris de cada fuelle es una pesa móvil. Los fuelles del lado derecho están comprimidos y los del izquierdo se inflan, flotan y, en teoría, hecen rotar a la máquina en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 1.13: Movimiento perpetuo por efecto de flotación. En ambos casos se supone que las ruedas giran en el sentido del reloj. El principio de funcionamiento es el mismo que el del diseño argentino de 1913, figura 12. El de la izquierda es un diseño británico de 1857; el de la derecha es estadounidense y más nuevo, de 1976, llamado “generador de energía por desplazamiento de fluidos impulsado gravitacionalmente.” (Izquierda: patente británica de 1857, en Dircks, 1861, p. 478. Derecha: patente estadounidense de 1976, Free Patents Online.)

Los extremos negros de los fuelles están fijos a lo largo de la cinta sin fin. Los extremos grises son pesas que se pueden desplazar inflando y desinflando los fuelles, de modo que los de la izquierda flotan y los de la derecha se hunden. Sin embargo, si se observan los fuelles que están justo arriba y abajo, se ve que sus pesos están desplazados a la izquierda. El exceso de peso del costado izquierdo compensa la flotabilidad de los fuelles. El resultado neto es que la máquina no se mueve. El diseño argentino tampoco es el primero; antes, en el siglo xix, existían modelos de este tipo y uno de ellos fue patentado en Gran Bretaña en 1857 (figura 13).

En resumen, se sabe que no es posible construir una máquina de movimiento perpetuo con la misma certeza con la que se sabe que las manzanas caen cuando se desprenden de los árboles. Sin embargo, lo único perpetuo de este movimiento parece ser la fascinación que produce. Algo que ha cambiado con el tiempo es el lenguaje. El término “movimiento perpetuo” tiene connotaciones negativas. Los inventores actuales prefieren hablar de “over-unity machine”, o máquina por sobre la unidad. El nombre indica que la máquina tendría una eficiencia mayor que uno. La eficiencia es el cociente entre la energía útil que la máquina entrega y la energía que consume, por lo tanto, si la eficiencia es mayor que uno se produciría más energía que la que se consume y se violaría la ley de conservación de energía.

La segunda ley de la termodinámica y máquinas del segundo tipo

En 1850, Rudolf Clausius propuso la segunda ley de la termodinámica:

El calor no puede por sí solo pasar de una fuente fría a una caliente.

Aunque uno jamás haya estudiado termodinámica, sabe que el calor sólo fluye de zonas calientes a zonas frías. La segunda ley es, quizá, la más intuitiva y la más conocida de las leyes de la física. Algunos años después, Kelvin y Planck propusieron un enunciado que, aunque no lo parezca, es equivalente al de Clausius:

Es imposible que una máquina alimentada con cierta cantidad de calor produzca una cantidad igual de trabajo.

Decir que ambos enunciados son equivalentes significa que si el de Clausius es verdadero entonces también es verdadero el de Kelvin y Planck y, al revés, si el de Kelvin y Planck es verdadero entonces también lo es el de Clausius. La demostración de la equivalencia no es complicada y puede encontrarse en cualquier libro de física en el que haya un capítulo dedicado a la termodinámica. Al hablar de “máquina” el enunciado de Kelvin y Planck se refiere a un dispositivo que funciona en forma cíclica, o sea, luego de un ciclo el sistema vuelve a su situación inicial. Una máquina térmica tiene una zona caliente, donde se quema el combustible, por ejemplo el pistón del motor de un auto, y una zona fría donde se desperdicia parte de calor: el radiador. Lo que dicen Kelvin y Planck es que en el radiador siempre se desperdicia parte de la energía térmica que se genera en la combustión, y que el trabajo útil, lo que hace que el auto se mueva, será menor que la cantidad de energía consumida. En principio parece que hubiera una posibilidad de salir de este juego. Se puede demostrar que, si el radiador está lo más frío posible, entonces toda la energía térmica se podría transformar en trabajo útil, y la eficiencia sería igual a 1. Lo más frío posible significa 273 °C bajo cero; esta temperatura también es llamada cero absoluto. Nada puede estar más frío que eso, pues a esa temperatura cesa el movimiento desordenado a nivel microscópico del que se habló más arriba (en realidad, no cesa por completo si se tienen en cuenta efectos cuánticos). Aquí es donde entra la tercera ley de la termodinámica, propuesta por Walther Nernst a principios del siglo xx, que dice justamente que no se puede alcanzar el cero absoluto. Un objeto puede estar muy frío, pero su temperatura nunca puede ser igual al cero absoluto, aunque pueda acercarse mucho. En conclusión, no se puede salir del juego, el enunciado de Kelvin y Planck es siempre válido y siempre se desperdicia algo de calor en el radiador.

La segunda ley posee una cualidad que la hace única entre todas las leyes fundamentales de la física. Sólo la segunda ley distingue pasado de futuro; dice que existen fenómenos que sólo se dan hacia adelante en el tiempo y es imposible que sucedan hacia atrás, como una película que se proyecta al revés. El calor sólo puede fluir de un cuerpo caliente a uno frío, y no al revés.

Una máquina de movimiento perpetuo del segundo tipo respeta la primera ley de la termodinámica, pero intenta violar la segunda. Aunque es menos ambiciosa que las máquinas anteriores, pues no pretende crear energía, de todos modos sería extraordinaria. Permitiría, por ejemplo, que un barco tome del mar la energía que necesita para moverse.

Figura 1.14: La máquina que impulsa este barco toma la energía en forma de calor del agua de mar y la transforma en movimiento de la hélice. Según la segunda ley de la termodinámica, esta transformación es imposible.

En la figura 14 se muestra un esquema de esta máquina. Toma calor del agua del mar y lo transforma completamente en trabajo útil: el movimiento de la hélice. El único deshecho sería agua fría.

Hay otra forma de ver esta violación del enunciado de Kelvin y Planck. Lo que está haciendo esta máquina es tomar una porción de agua de mar, que se encuentra a cierta temperatura y, de algún modo, ordena el desorden del movimiento a nivel microscópico. Fuerza a las partículas a moverse de forma ordenada en una dirección determinada manteniendo, por supuesto, la energía constante. Este movimiento ordenado se podría transmitir mediante paletas a un eje que movería la hélice del barco. La máquina, al transformar el movimiento del agua de desordenado a ordenado estaría bajando su entropía, la magnitud física con la cual se mide el desorden. Una tercera forma de expresar la segunda ley es diciendo que la entropía en un sistema aislado (como esta máquina) sólo puede aumentar o mantenerse constante, pero nunca disminuir.

Las máquinas de movimiento perpetuo del segundo tipo han sido propuestas, en general, con el objetivo de poner a prueba la segunda ley. Todos estos intentos han fracasado y la segunda ley mantiene su carácter de tal sobreviviendo incluso, como se dijo antes, a las revoluciones de la relatividad y la mecánica cuántica.

Las leyes de la termodinámica pueden resumirse de la siguiente manera:

1.  No se puede ganar (como la energía se conserva, no se puede obtener algo de nada).

2.  No se puede empatar (la cantidad de trabajo que produce una máquina no puede ser igual a la cantidad de energía que consume).

3.  No se puede salir del juego (el cero absoluto es inalcanzable).

Conclusión

A pesar de las dificultades, de los fracasos, de las evidencias en contra y de las leyes de la física, los buscadores del movimiento perpetuo no se rinden y quizá nunca lo hagan. El movimiento perpetuo está asociado a un sueño de fuerza enorme: el de alcanzar algo que parece imposible. Un sueño que, en otras circunstancias, ha impulsado grandes logros. Las dificultades generan estímulo en los buscadores. Como las dificultades son tan grandes, el estímulo se hace irresistible. Por momentos surge el deseo de ponerse del lado de los soñadores y decirles que si se esfuerzan, si trabajan duro, si de verdad creen en lo que buscan, lo encontrarán. Pero sería un error.

Las leyes de la termodinámica están tan bien establecidas como la ley de gravedad. Uno puede tener la esperanza de construir una máquina de movimiento perpetuo. Del mismo modo, uno puede arrojarse desde un décimo piso y tener la esperanza de no caer y violar la ley de gravedad. Las probabilidades de éxito son las mismas.

Sin embargo, la tentación es grande. Los diseños de máquinas de movimiento perpetuo tienen cierto encanto que atrapa incluso a los escépticos. Algunos de los diseños más interesantes han sido propuestos por científicos que no esperan verlos funcionar. En la figura 15 se muestra un bello diseño de este tipo, atribuido al físico George Gamow, de quien se hablará más en el capítulo siguiente.

Figura 1.15: Rueda desbalanceada de Gamow. A la derecha hay nueves, a la izquierda, seis. Hay 50 % más del lado derecho, lo que hace girar la rueda en el sentido del reloj.

Capítulo 2

Relatividad especial y óptica relativista

En 2005 se ha conmemorado el centenario del “año milagroso” de Einstein. Con 25 años de edad, siendo empleado de la oficina de patentes de Berna, publicó cuatro artículos en la revista alemana Annalen der Physik que revolucionaron la física y cambiaron para siempre la visión del mundo, el espacio y el tiempo.

En marzo de 1905 escribió Sobre un punto de vista heurístico concerniente a la producción y transformación de luz. Analiza el efecto fotoeléctrico: la capacidad de la luz de arrancar electrones cuando incide sobre la superficie de un metal, y lo explica suponiendo que la luz está formada por partículas (más tarde llamadas fotones), en contraste con la posición establecida durante el siglo xix de que la luz es una onda electromagnética. Einstein se basó en un trabajo que Planck había publicado unos años antes, en el que se sugería que la energía es discreta, o sea, que no puede variar en forma continua tomando cualquier valor sino que sólo puede variar de a saltos. Estos trabajos formaron la base de la mecánica cuántica. Según la mecánica cuántica, dependiendo del tipo de experimento que se realice, la luz puede comportarse como onda o como partículas. La dualidad onda-partícula que se manifiesta en la luz y también en la materia, es una de los resultados más asombrosos de la cuántica. En 1921, Einstein recibió el premio Nobel por este trabajo.

En mayo de 1905 escribió Sobre el movimiento de partículas pequeñas en líquidos estacionarios requerido por la teoría molecular-cinética del calor. Si se observan pequeños granos de polen, y las partículas que se desprenden de ellos, suspendidos sobre la superficie de agua quieta a través de un microscopio, se ve que nunca están quietos sino que se mueven de forma aleatoria en todas direcciones. El efecto se conoce como movimiento browniano y era considerado un misterio sin resolver hasta la publicación de este artículo. Einstein explica el movimiento browniano como un efecto de las colisiones entre los granos de polen y las moléculas de agua. Su explicación reforzó la teoría atómica, o sea, la idea de que la materia está formada por átomos. Teoría que, a principios de siglo xx, algunos científicos todavía ponían en duda.

En junio de 1905 escribió Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento, la base de la teoría especial de la relatividad, de la que se hablará con más detalle a lo largo de estas páginas. Finalmente, en septiembre de 1905, escribió ¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía?, un artículo corto comparado con los anteriores, en el que analiza algunas consecuencias de la teoría especial de la relatividad. Aquí aparece, por primera vez, su famosa ecuación de equivalencia entre masa y energía: E = m c², donde E es energía, m es masa y c² es la velocidad de la luz multiplicada por sí misma. Tuvo una comprobación experimental espectacular en 1933 cuando se observó la conversión de radiación electromagnética en pares de electrón y positrón.

En 1915, Einstein publicó su teoría general de la relatividad, que incluye la descripción de cuerpos acelerados y de la fuerza de gravedad. Es más compleja desde un punto de vista matemático. La teoría especial de 1905 es, sin embargo, suficiente para introducir la consecuencia más asombrosa de la relatividad: las distorsiones en el espacio y en el tiempo. La principal dificultad para entender la relatividad es que estas distorsiones chocan con nuestra percepción habitual. No estamos acostumbrados a los efectos relativistas porque son difíciles de detectar. Sólo se manifiestan cuando un objeto alcanza una velocidad comparable a la de la luz. La luz viaja a aproximadamente 300000 kilómetros por segundo. En un segundo, un haz de luz da la vuelta alrededor de la tierra ocho veces. Las máquinas más rápidas que existen son las naves espaciales, que puede viajar a alrededor de 30000 kilómetros por hora (no por segundo), esta velocidad sigue siendo demasiado pequeña con respecto a la de la luz, sólo un 0,003 %. Aunque los efectos relativistas no puedan observase a simple vista en estos casos, sí pueden medirse con los instrumentos adecuados. Además, se pueden alcanzar velocidades mucho más altas en forma artificial si nos resignamos a mover sólo unas partículas atómicas en lugar de una nave que nos pueda transportar. En los aceleradores de partículas los efectos relativistas son usuales.

Gamow y el Sr. Tompkins

En 1940, George Gamow publicó El Sr. Tompkins en el país de las maravillas, un libro de divulgación científica en el que se explican los principales avances de la física del siglo xx. El primer capítulo está dedicado a la relatividad. Gamow describe a Tompkins como un señor calvo y de bigote, que está aburrido y busca en el diario algún pasatiempo. Como no encuentra una película que lo entusiasme, decide asistir a una conferencia sobre relatividad. Al poco tiempo de estar escuchando al disertante, y sin haber podido entender una palabra, Tompkins se queda dormido. De alguna manera, en forma inconsciente, las palabras del orador influyen en su sueño. Tompkins se ve a sí mismo caminando por las calles de una ciudad desconocida y casi despoblada. De pronto ve a un hombre que se acerca andando en bicicleta. Tompkins se asombra al observar que tanto hombre como bicicleta están comprimidos, como si una mano invisible los apretara y redujera la distancia entre el extremo anterior y posterior de la bicicleta. Pronto comprende lo que sucede y, con la naturalidad con la que en los sueños se aceptan los hechos más insólitos, Tompkins entiende que está observando un efecto relativista dado que, con toda seguridad, la velocidad de la luz en la ciudad es menor que la usual. Un poco preocupado por el tamaño de su abdomen, piensa que le agradaría verse más delgado. Toma una bicicleta que ve apoyada contra una vidriera y, con disimulo, comienza a andar. Se decepciona un poco al ver que su aspecto es el mismo de siempre. Observa, en cambio, que las cuadras son más cortas y todos los edificios están comprimidos. También observa que, a su alrededor, todo sucede más despacio, como una película proyectada en cámara lenta. Otra vez Tompkins siente que comprende lo que está sucediendo y se dice a sí mismo: “Aquí es donde entra la palabra relatividad”. Él, con respecto a sí mismo, sigue quieto. Desde su perspectiva, lo que ahora se mueve es toda la ciudad y por eso es la ciudad, y no él, la que se ve comprimida. Las distorsiones relativistas dependen de, o son relativas a, el punto de vista o sistema de referencia.

La idea brillante de Gamow fue haber imaginado un mundo en el que la velocidad de la luz es de sólo unos 20 kilómetros por hora. Cuando la velocidad de la luz es lenta los efectos relativistas se ven amplificados. Lo que observa Tompkins en su sueño es una caricatura del mundo y, como toda caricatura, se basa en la exageración de rasgos reales. Cuando vemos pasar a alguien andando en bicicleta su reloj anda más lento que el nuestro y, tanto ciclista como bicicleta, están comprimidos a lo largo de la dirección en que se mueven, pero en nuestro mundo estos cambios son demasiado pequeños como para poder observarlos sin recurrir a experimentos especiales.

Sin embargo, lo que Tompkins ve en su sueño no es exactamente lo que Gamow imaginó. No tuvo en cuenta algunos efectos ópticos causados por la velocidad finita de la luz, de los que se hablará más adelante, y que hoy en día se estudian dentro de lo que se llama óptica relativista.

Antes de analizar los efectos de la óptica relativista, en los párrafos que siguen se presentan los postulados de la teoría especial de la relatividad y la forma en que las distorsiones que ve Tompkins en su sueño pueden obtenerse de estos postulados.

Relatividad especial

Los postulados de los que parte Einstein para desarrollar la teoría especial de la relatividad son dos:

1.  No es posible detectar el movimiento absoluto y uniforme. O, dicho de otra forma, todos los sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante son equivalentes.

2.  La velocidad de la luz es constante, no depende del movimiento del observador o de la fuente de luz.

El primer postulado es conocido como principio de relatividad y ya había sido propuesto mucho antes por Galileo. Galileo imaginaba un barco navegando con un viento constante en aguas calmas dentro de un puerto. Alguien que estuviera dentro de la bodega del barco, sin poder mirar hacia fuera, no podría saber si se está moviendo. Hoy, en lugar de barcos, se habla de dos cápsulas espaciales que se cruzan en el espacio a velocidad constante. Supongamos que desde la perspectiva de la primera cápsula, la segunda se desplaza hacia la izquierda. Pero, para el astronauta de la segunda, es la primera la que se está moviendo hacia la derecha. ¿Quién de los dos tiene razón? Ambos tienen razón si tienen presente que el movimiento que observan es relativo a su punto de referencia. Ambos están equivocados si piensan que el movimiento que observan es absoluto, pues no existe un sistema de referencia especial desde el cual se pueda determinar el movimiento absoluto. Galileo decía que dentro de la bodega del barco (o dentro de la cápsula espacial) no era posible realizar ningún experimento mecánico, con péndulos, palancas o lo que fuera, que pudiera indicarnos si nos estamos moviendo o no. El principio de relatividad de Einstein es más general pues dice que no solamente los experimentos mecánicos son inútiles para determinar el movimiento absoluto, sino también cualquier experimento de cualquier tipo incluyendo en especial los que utilicen la luz.

El segundo postulado es menos intuitivo y más sorprendente. La intuición y la experiencia cotidiana nos dicen que, cuando un objeto se acerca a nosotros a cierta velocidad, si nosotros nos movemos hacia el objeto lo veremos acercarse a una velocidad mayor. Con la luz las cosas son diferentes. Aunque nos alejemos, nos acerquemos o nos movamos para cualquier lado con respecto a una fuente, la velocidad de la luz que mediremos será siempre la misma: 300 000 kilómetros por segundo. Debido al primer postulado, lo mismo sucede cuando, en lugar de movernos nosotros, lo que se mueve es la fuente de luz. Este comportamiento sorprendente de la luz fue comprobado experimentalmente por primera vez a fines del siglo xix por Michelson y Morley.

Las consecuencias que surgen de estos postulados son extraordinarias y parecieron inverosímiles a gran parte de la comunidad científica durante comienzos del siglo xx, hasta que se acumuló la evidencia experimental que las hicieron innegables.

La primera consecuencia que puede deducirse es el retardo temporal que se observa en los objetos que se mueven con respecto a nosotros (la ciudad en cámara lenta que ve Tompkins cuando anda en bicicleta). El paso del tiempo puede medirse con un reloj de luz como el que se muestra en la figura 1.

Figura 2.1: Reloj de luz. Los extremos del tubo son espejos. La línea punteada marca el recorrido de un destello que rebota entre los espejos. El lapso del tic-tac es el tiempo que tarda el destello en recorrer el tubo ida y vuelta.

Está compuesto por un tubo con dos espejos en los extremos. Un destello de luz rebota continuamente entre los espejos. El tic-tac de este reloj es el tiempo que tarda el destello en recorrer todo el tubo ida y vuelta. Si el reloj tiene una longitud de 15 centímetros, el lapso del tic-tac es de 1 nanosegundo o, lo que es lo mismo, 0,000000001 segundo.

Ahora supongamos que el reloj se mueve con cierta velocidad hacia la derecha. La trayectoria que traza el destello de luz es la que marca la línea punteada de la figura 2.

Figura 2.2: Reloj de luz en movimiento desplazándose hacia la derecha. El camino del destello de luz está indicado por la línea punteada y es mayor que en el caso del reloj quieto de la figura 1.

El camino que recorre la luz tiene una longitud mayor que cuando el reloj está quieto. Según el segundo postulado, la velocidad de la luz es siempre la misma y no depende de si el reloj se mueve o no. Por lo tanto, como recorre una distancia mayor, tarda más tiempo en ir y volver desde un extremo del reloj. Si el reloj se mueve hacia la derecha a, por ejemplo, la mitad de la velocidad de la luz, se puede calcular que el lapso del tic-tac que observamos es de, aproximadamente, 1,15 nanosengundos.  El reloj en movimiento marca el paso del tiempo en forma más lenta que el reloj quieto.

Lo más extraño de esta teoría es que el hecho de observar al reloj en movimiento como si estuviera en cámara lenta no significa que sea más lento en forma absoluta. El retardo es relativo al punto de vista. Si imaginamos a una persona que viaja junto al reloj en movimiento, para ella ese reloj no tendrá ningún retardo y, en cambio, verá que es nuestro reloj el que va más lento.

La otra consecuencia asombrosa de la relatividad es la contracción de longitudes (las cuadras más cortas que ve Tompkins cuando anda en bicicleta o, cuando está parado en la vereda, la contracción del ciclista a lo largo de la dirección de su movimiento). La contracción relativista también puede demostrase utilizando relojes de luz. Supongamos que tenemos dos relojes de luz que se mueven juntos hacia la derecha. Uno está colocado en forma vertical y el otro en forma horizontal, como se ve en la figura 3.

Figura 2.3: Dos relojes de luz colocados en forma vertical y horizontal que se desplazan hacia la derecha, como indica la flecha. El reloj horizontal se contrae de modo tal que el tiempo que tarda un destello de luz en ir y volver sea el mismo para los dos relojes. Si no fuera así se violaría el principio de relatividad pues habría una forma de determinar el movimiento absoluto.

El recorrido de los destellos de luz en ambos relojes es diferente, pero el lapso del tic-tac de los dos debe ser el mismo. Si no lo fuera, se violaría el primer postulado, o principio de relatividad, pues habría una forma de determinar el movimiento absoluto. Se podría decir que, cuando dos relojes de luz como los de la figura 3 no coinciden entre sí al marcar el tiempo, entonces se están moviendo en forma absoluta. No es esto lo que en realidad sucede. La contracción espacial no es tan sencilla de deducir de las figuras como la dilatación temporal. Sin embargo, puede comprobarse que el reloj horizontal se comprime para que marque el paso del tiempo igual que el vertical.

Es un error más o menos frecuente pensar que la contracción espacial es un efecto óptico debido a la velocidad finita de la luz, que los objetos conservan siempre la misma longitud pero se ven contraídos por un retardo de la luz. Sin embargo, la contracción espacial y la dilatación temporal son efectos reales en el sentido de que cualquier medición que tome un observador estará de acuerdo con estas distorsiones. Al medirlas, las longitudes realmente se acortan; no se trata de un efecto óptico. Sin embargo, los efectos ópticos también existen y producen distorsiones que se agregan a las anteriores y que Gamow no tuvo en cuenta cuando describió el sueño relativista de Tompkins. La óptica relativista se encarga de estudiar cómo se ven los objetos que se mueven a grandes velocidades teniendo en cuenta todas las distorsiones presentes.

¿Cómo es el aspecto de las cosas cuando se mueven a velocidades relativistas? A pesar de que la relatividad especial de Einstein ya cumplió más de 100 años, esta pregunta logró resolverse sólo durante los últimos 60 años gracias, principalmente, a los trabajos de Penrose, Terrell y Weisskopf[6]. Además de la contracción espacial y la dilatación temporal, la imagen del mundo que uno vería estaría también afectada por la velocidad finita de la luz, las aberraciones, el efecto Doppler y los cambios de intensidad.

La forma, posición y orientación de un objeto que se mueve a una velocidad cercana a la de la luz puede ser bastante diferente de lo que se vería a velocidades más lentas. Algunas de estas deformaciones ópticas recuerdan a las imágenes que se producen en espejos curvos.

Las cosas se comprimen

Imaginemos a una persona que se encuentra dentro de un tren un día de lluvia y sin viento. El tren está parado en la estación y la persona observa que las gotas de agua que tocan su ventana trazan pequeñas líneas verticales. El tren arranca y, a medida que su velocidad aumenta, las líneas que trazan las gotas de agua en la ventana se ven cada vez más inclinadas. No exactamente lo mismo, pero algo similar sucede con la luz. Imaginemos que esta persona, en lugar de encontrarse en el tren, está dentro de una nave en el espacio exterior. En lugar de lluvia, recibe luz de las estrellas. En la figura 4(a), el triángulo central representa la nave espacial y las flechas son los rayos de luz que vienen desde todas las direcciones. En la figura 4(b) la nave se está moviendo a una velocidad bastante grande hacia la derecha. Igual que las gotas de lluvia en el caso del tren, los rayos de luz también se inclinan y tienden a alinearse con la dirección del movimiento de la nave.

Figura 2.4: El cono en el centro representa a una nave en el espacio exterior. Las flechas son rayos de luz que vienen desde estrellas lejanas. En (a), la nave está quieta con respecto a las estrellas. En (b), la nave se mueve hacia la derecha a velocidad cercana a la de la luz. Los rayos de luz se inclinan en la dirección del movimiento produciendo el efecto de compresión angular.

El efecto óptico que produce esta desviación de los rayos de luz es que los objetos que se encuentran adelante se ven comprimidos. Si desde la nave se mira hacia atrás, todo se verá aumentado de tamaño. Otra consecuencia es que la persona en la nave, mirando hacia adelante, podría ver estrellas que, cuando estaba quieta, se encontraban detrás de ella.

Las cosas se distorsionan

Dado que a la luz le lleva cierto tiempo recorrer una distancia, la imagen que uno ve de los objetos corresponde al aspecto que tenían en el momento en que la luz partió de ellos. En el instante en que la luz llega a nuestros ojos, el objeto pudo haber cambiado de lugar. En la vida cotidiana este efecto es, en general, imperceptible. Podemos, sin embargo, experimentarlo sin dificultad al observar el cielo. Dado que algunas estrellas están a miles de años luz de distancia, las estamos viendo como eran hace miles de años. El sol que vemos cada día no es el del momento en que miramos, sino el que era ocho minutos atrás.

Figura 2.5: En (a) el tranvía está quieto. En (b), se está moviendo hacia la izquierda a velocidad cercana a la de la luz. Además de verse más corto por la contracción relativista, el tranvía parece rotado. La causa es que la cara más alejada está retrasada con respecto a la cara cercana debido al retardo de la luz. (Cortesía de Searle y Savage, The Australian National University.)

Un efecto interesante producido por el retardo de la luz es la rotación de Terrell. Para ilustrarla, volvamos al sueño relativista de Tompkins, donde la luz se mueve a unos 20 kilómetros por hora. Tompkins observa a un tranvía, como se ve en la figura 5. Primero lo ve quieto y luego en movimiento. Cuando el tranvía se mueve, Tompkins observa la contracción relativista a la que ya está acostumbrado por su experiencia con los ciclistas. Pero hay otro detalle: el tranvía, además de estar más corto, también parece estar rotado. La causa de esta aparente rotación es que la cara más alejada del tranvía está desplazada hacia la derecha con respecto a la cara más cercana. Está retardada pues, al estar más lejos, su luz tarda más en llegar que la que proviene de la cara más cercana del tranvía.

Las cosas cambian de color

El efecto Doppler se manifiesta en todo tipo de onda periódica, como el sonido o la luz. Cuando un objeto que emite una onda se acerca a nosotros, la distancia entre las crestas de la onda se comprime por el movimiento del objeto. En cambio, cuando el objeto se aleja, esa distancia se dilata. En las ondas de sonido, estos cambios se perciben como cambios en la frecuencia. Cuando un auto de carreras de acerca a nosotros, el ruido de su motor se escucha más agudo y, cuando se aleja, el ruido es más grave.

El sonido requiere de un medio material, como el aire, para propagarse. La luz, en cambio, puede propagarse en el vacío. A pesar de estas diferencias, el efecto Doppler de la luz es cualitativamente como el del sonido. Cuando un objeto que emite luz se acerca a nosotros (o nosotros nos acercamos a él) la frecuencia de su luz aumenta, y al revés si se aleja. Con la luz, los cambios de frecuencia corresponden a cambios de color. Un aumento de frecuencia de la luz produce un objeto azulado. Una disminución de la frecuencia hace que veamos al objeto más rojizo. Sin embargo, la luz visible es sólo una pequeña parte del espectro de ondas electromagnéticas. Si un objeto se aleja de nosotros (o nosotros nos alejamos de él) a velocidad grande, la disminución de la frecuencia de su luz puede ser tal que pase a la zona infrarroja, que es no visible y, por lo tanto, el objeto se verá oscuro. Lo mismo puede suceder con un objeto que se acerque a nosotros a una velocidad muy grande y su luz pase a la zona ultravioleta, que tampoco es visible.

Se ha observado que la luz que llega de estrellas o galaxias lejanas es algo más rojiza de lo que debería ser si estuvieran quietas. Del corrimiento al rojo de la luz se puede deducir que las galaxias más lejanas se alejan de nosotros a mayor velocidad. Estos resultados son el principal indicio de la expansión del universo.

La luz en el túnel

Como se ve en la figura 4, la compresión angular tiende a aumentar la cantidad de luz que viene de adelante y reducir la que viene de atrás. Desde la perspectiva de alguien que se encuentre en el punto central de la figura, no sólo observará una deformación geométrica de los objetos que se comprimen adelante y se dilatan atrás, sino también verá que, hacia adelante, los objetos son mucho más brillantes que hacia atrás.

Este efecto se combina con la dilatación temporal que también influye para aumentar la intensidad observada de la luz. Supongamos que, en la nave espacial, tenemos una cámara fotográfica que realiza una toma del espacio estrellado. Con respecto a las estrellas, la nave se mueve a una velocidad grande hacia la derecha y, por la dilatación temporal, todo en la nave parece suceder más lentamente. También se hace más largo el tiempo de disparo de la cámara fotográfica, haciendo que la cámara registre una intensidad de luz mayor que si estuviera quieta.

Figura 2.6: La secuencia de imágenes muestra el aspecto del cielo desde una nave espacial que se mueve a velocidad cada vez mayor. La compresión angular hace que vaya aumentando el número de estrellas que entran dentro del campo de visión. Al mismo tiempo, la intensidad de la luz aumenta hasta que todo el cielo se transforma en una luz frontal muy intensa. (Cortesía de Searle y Savage, The Australian National University.)

En la figura 6 se muestra una secuencia de imágenes que presentan el aspecto del cielo desde la perspectiva de una nave espacial que se mueve a velocidad cada vez mayor. En cada paso de la secuencia se puede apreciar el aumento de la contracción angular y de la intensidad de la luz.

Conclusiones

En la vida cotidiana, los efectos relativistas son imperceptibles debido a que la velocidad de los objetos que nos rodean, o la velocidad que nosotros podamos alcanzar, siempre es muy pequeña con respecto a la de la luz. Sin embargo, algunos experimentos muy precisos han permitido medir efectos relativistas aún a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz como es, por ejemplo, la de un avión comercial. Hafele y Keating, en 1971, dieron la vuelta al mundo en avión llevando consigo un reloj atómico muy preciso. En el punto de partida habían dejado otro reloj igual perfectamente sincronizado con el que se llevaron. Al regresar comprobaron que, en la tierra, el tiempo había transcurrido un poco más rápido que para ellos, los relojes discrepaban en 0.00000033 segundos, diferencia que estaba de acuerdo con la teoría de la relatividad (incluyendo la relatividad general pues debía tenerse en cuenta la gravedad terrestre).

La teoría de la relatividad especial y general, y sus efectos ópticos, se halla hoy validada por una gran cantidad de evidencia experimental acumulada, principalmente, en aceleradores de partículas y en observaciones astronómicas. Sus consecuencias asombrosas y casi inverosímiles se hallan hoy comprobadas. La idea de una única escala espacial y temporal que abarque todo el universo, como había imaginado Newton y como indica también la intuición, ha resultado falsa. El universo tiene múltiples escalas espaciales y temporales que dependen de cada sistema de referencia y que, además, de acuerdo con la relatividad general, pueden estar curvadas. El mundo en el que vivimos es un sitio mucho más extraño y misterioso de lo que parece a primera vista y, según las palabras de Einstein, “Lo más hermoso que podemos experimentar es la sensación de misterio. Es la fuente de todo arte y ciencia verdaderos”.

Figura 2.7: Albert Einstein, 1879-1955. (Foto de F. Schmutzer, 1921, durante una lección en Viena. Wikimedia Commons.)

Capítulo 3

Caos

La palabra “caos” proviene del griego, y su significado original es el de un abismo vacío, vasto y sin forma que precedió a la creación del cosmos, el orden, la antítesis del caos. Según la mitología griega, del caos informe surgieron divinidades primarias, entre las que estaba Nix, la noche. Nix dio nacimiento a Hemera, el día. Una vez que hubo noche y día, el tiempo pudo medirse, tenía un orden y una estructura. Surgió el cosmos.

Pero el orden del cosmos no ha resultado completo. Y algo del caos primordial todavía perdura al observar con detenimiento el comportamiento de algunos sistemas dinámicos. Un sistema dinámico es cualquier sistema cuyo estado puede describirse con variables que cambian con el tiempo de acuerdo a alguna regla. Se encuentran ejemplos de sistemas dinámicos en cualquier área de la ciencia. Puede tratarse de un sistema planetario, un circuito electrónico, un péndulo, la concentración de un compuesto químico o el valor de una acción en la bolsa. A pesar de la existencia de reglas que determinan cómo cambia el estado del sistema en función del tiempo, su comportamiento puede hacerse caótico e impredecible.

Figura 3.1: Representación artística del caos, de 1700. La inscripción, en holandés, dice: “el CAOS según los pensamientos de los poetas antiguos”. (Willem Goeree, 1700, Voor-Bereidselen Tot de Bybelsche Wysheid en Gebruik der Heilige en Kerkelijke Historien.)

En el contexto del estudio de sistemas dinámicos, el término “caos” tiene un significado preciso que se aparta de su origen mitológico. Corresponde a un cambio —o dinámica— complejo, desordenado e impredecible. Un sistema dinámico con caos tiene una alta sensibilidad a las condiciones iniciales. Esto significa que una pequeña diferencia en el valor inicial de las variables que determinan el estado del sistema da resultados muy diferentes al avanzar en el tiempo. La sensibilidad a la condiciones iniciales genera la impredecibilidad, incluso cuando el sistema en cuestión sea determinista. Es decir, su estado en el futuro está completamente determinado por su estado en el presente. La impredecibilidad surge porque el estado presente no puede conocerse con infinita precisión, siempre tiene cierto grado de aproximación. En palabras de Edward Lorenz, la definición de caos es “cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro”.[7]

Estudio del movimiento a través de ecuaciones

Antes de analizar el comportamiento caótico, es útil ver situaciones en las que no hay caos. O sea, en las que el presente aproximado puede determinar aproximadamente el futuro. Los primeros sistemas dinámicos con una descripción matemática surgieron en el estudio del movimiento. Y su principal precursor fue Galileo Galilei. De la observación cuidadosa en repetidos experimentos del movimiento de caída en plano inclinado, de caída libre o de lanzamiento de objetos, Galileo obtuvo la descripción matemática de estos movimientos simples. Para él, el libro de la naturaleza estaba escrito en caracteres matemáticos. A partir de Galileo, y también de Newton, ya no fue posible el estudio de la física sin usar lenguaje matemático.

Consideremos las ecuaciones de cinemática de Galileo aplicadas al lanzamiento de un proyectil. Conociendo la magnitud y el ángulo de la velocidad del proyectil en el momento del disparo, es posible calcular toda la trayectoria en función del tiempo. Y también predecir dónde caerá el proyectil. En la práctica, la velocidad inicial puede conocerse solo con una precisión limitada. Toda medición tiene un error, grande o pequeño. La presencia del error no es crucial para este problema. La imprecisión en la velocidad inicial producirá un error de magnitud similar en el cálculo del punto de impacto del proyectil. Es decir, el conocimiento aproximado de la situación inicial permite la determinación aproximada de la situación final. Como se verá más adelante, las cosas son muy distintas cuando hay caos.

Figura 3.2: Trayectoria parabólica de un proyectil. Las ecuaciones de Galileo permiten calcular la posición del proyectil en cada momento. Pequeñas variaciones de la velocidad inicial, v, producirán pequeños cambios en la posición final.

Luego, a fines del siglo xvii, cuando Newton logró describir con precisión el movimiento de los planetas usando sus leyes de dinámica y gravitación, las ventajas del enfoque matemático para la descripción del movimiento fueron evidentes. El entusiasmo que produjeron los logros de Newton fue enorme. El poeta inglés Alexander Pope le escribió el siguiente epitafio:

La naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche;

Dios dijo “sea Newton” y todo fue luz.

El matemático italiano Lagrange decía que Newton fue el genio más grande que existió, y el más afortunado, pues no podemos encontrar más de una vez un sistema del mundo. Era una época optimista en la que parecía que todo ya estaba resuelto.

Figura 3.3: Esquema de Urano y Neptuno en dos posiciones sucesivas de sus órbitas alrededor del Sol. Urano se mueve más rápido que Neptuno. En la primera posición, Urano se ve acelerado por la atracción de Neptuno. En la segunda, la influencia de Neptuno frena a Urano.

Figura 3.4: Caricatura publicada en un periódico francés en 1846, que ilustra la disputa entre Francia e Inglaterra por la primacía en el descubrimiento de Neptuno. A la izquierda está el astrónomo inglés Adams apuntando su telescopio en una dirección equivocada. A la derecha, Adams espía las notas de Leverrier, al otro lado del canal de la Mancha. Se ha dicho que la disputa estuvo a punto de ocasionar un incidente internacional. Hoy se considera que Leverrier no solo se adelantó, por poco tiempo, a Adams en la publicación de sus cálculos, sino también que su predicción fue más precisa. (Periódico francés l’Illustration, 7 de noviembre de 1846.)

El entusiasmo siguió durante el siglo xix. En 1845, el astrónomo francés Urbain Leverrier comenzó un intenso y delicado trabajo matemático. Analizó con cuidado la órbita del planeta Urano, que no se ajustaba con precisión a lo que predecía la teoría de Newton. En cierta época del año Urano parecía moverse un poco más rápido de lo que le correspondía, y en otra época, más lento. Leverrier supuso la existencia de otro planeta, desconocido hasta el momento, que con su influencia gravitatoria perturbaba la órbita de Urano. El movimiento de Urano se aceleraba cuando se acercaba a este nuevo planeta, y se frenaba cuando se alejaba. Luego de un año de cálculos, Leverrier pudo predecir dónde debía encontrarse ese planeta. No es posible observarlo a simple vista, pues al estar tan alejado su brillo es muy débil. Leverrier necesitaba ayuda. En la mañana del 23 de setiembre de 1846, Johann Galle, del observatorio de Berlín, recibió una carta de Leverrier en la que le decía que si apuntaba su telescopio a la eclíptica a un determinado ángulo descubriría el octavo planeta del sistema solar. Galle y d’Arrest prepararon el telescopio esa misma noche y, en menos de una hora, observaron a Neptuno a menos de un grado de la posición angular predicha. Dos días después, Galle escribió a Leverrier: “el planeta cuya posición ha calculado realmente existe”.[8] Leverrier había realizado el más espectacular acto de magia de la historia de la astronomía. Con la punta de su lápiz, como diría Arago, hizo aparecer en el cielo nada menos que un planeta, antes desconocido por todos. Y no uno pequeño, sino un gigante con una masa 17 veces la de la Tierra.

Figura 3.5: Pierre-Simon Laplace, 1741-1827. (Retrato de Laplace, por S. Feytaud, 1842. Wikimedia Commons.)

La mecánica clásica no solo servía —y sirve— para describir y comprender el movimiento de objetos o planetas, también para hacer predicciones asombrosas. Nada parecía imposible. Laplace expresó este optimismo al presentar el determinismo causal de la siguiente manera:

Podemos considerar al estado presente del universo como el efecto de su pasado y la causa de su futuro. Un intelecto que en cierto momento supiera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de todas las partículas que la componen, si fuera lo suficientemente vasto para someter estos datos al análisis, podría abarcar en una simple fórmula los movimientos de los más grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada sería incierto y el futuro así como el pasado estarían ante sus ojos.

Sin embargo, a pesar del orden alcanzado, a pesar de la mecánica clásica, del determinismo causal y de las predicciones asombrosas, el caos primordial no había sido erradicado del universo. Pronto haría su aparición en el mundo de la ciencia.

Caos en sistemas simples — los primeros indicios

Los científicos del siglo xix tenían claro que el intelecto que menciona Laplace, capaz de conocer las posiciones y velocidades de todas las partículas, era algo irrealizable no solo para el Universo, sino también para un sistema mucho más simple como un gas encerrado en una caja. Se suponía que la dificultad para describir y predecir el comportamiento de ese sistema residía en el gran número de partículas que lo componen. Si fuera posible el cálculo de todas las variables involucradas, el comportamiento complejo de un gas se haría tan previsible como el de un planeta o el de un objeto arrojado al aire.

Sin embargo, un gas muy simple formado solo por dos partículas, que pueden suponerse esféricas, presenta dificultades imprevistas. Supongamos la situación inicial en la que las partículas tienen velocidad horizontal, como se ve en la figura 6. Las partículas rebotan en las paredes de la caja conservando su energía, y por simplicidad no se tiene en cuenta la fuerza de gravedad (se puede suponer que el experimento se realiza en un satélite).

Figura 3.6: Gas de solo dos partículas en una caja. Las partículas rebotan en las paredes.

La evolución es simple y predecible. Las partículas se quedan yendo y viniendo, cada una a su respectiva altura, sin interferir. Ahora consideremos una situación inicial solo un poco diferente. Supongamos que al principio la partícula de abajo tiene una pequeña componente de la velocidad hacia arriba. A medida que se desplaza hacia los costados y choca con las paredes, también se desplaza poco a poco hacia arriba hasta que choca con la otra partícula. A partir de este punto las partículas chocan entre ellas y con las paredes en cualquier dirección en forma desordenada. Hay una gran diferencia entre las dos situaciones consideradas. En el primer caso el movimiento es ordenado y previsible, en el segundo ya no lo es. Y la diferencia ha sido solo un pequeño cambio en la condición inicial. Este sistema tiene una sensibilidad a cambios de la condición inicial que contrasta con el ejemplo del tiro oblicuo de la figura 2. El conocimiento aproximado de la situación inicial ya no permite, en este caso, una predicción aproximada de la posición final de las partículas. En 1879, James Clerk Maxwell ya había observado la existencia de estos problemas cuando escribió:[9]

Hay una máxima citada con frecuencia, que “las mismas causas siempre producen los mismos efectos”. (...)

Hay otra máxima que no debe ser confundida con la citada (...), que afirma “que causas similares producen efectos similares”.

Esto es cierto solo cuando pequeñas variaciones de las circunstancias iniciales producen pequeñas variaciones en el estado final del sistema. Esta condición es satisfecha en un gran número de fenómenos físicos; pero hay otros casos en los que una pequeña variación inicial puede producir un cambio muy grande en el estado final del sistema.

Figura 3.7: James Clerk Maxwell, 1831-1879. (Gravado basado en una fotografía. Wikimedia Commons.)

La historia de la observación de comportamiento caótico en sistemas simples durante el siglo xix continúa con el cumpleaños del rey Oscar ii de Suecia y Noruega, el 21 de enero de 1889. Newton había logrado una descripción precisa del movimiento de los planetas alrededor del Sol con sus leyes de la dinámica y de gravitación. Usando esas leyes, no es complicado comprobar que las órbitas de los planetas son elipses, siempre y cuando se considere la interacción gravitatoria de cada planeta con el Sol y se desprecie la interacción entre planetas por ser mucho más pequeña. Agregar un cuerpo más (un segundo planeta) al problema de interacción entre dos cuerpos aumenta de manera sorprendente su complejidad. Leverrier estimó la perturbación que producía Neptuno sobre Urano, pero no obtuvo la solución general del problema, es decir, una fórmula matemática que diera la posición de los planetas para todo tiempo y para toda condición inicial. Salvo en pocas excepciones, el movimiento resultante no es periódico. Otro problema de tres cuerpos, que Newton ya había analizado, es evaluar el efecto que produce el Sol en el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. El problema, por supuesto, tampoco puede resolverse en forma exacta. El rey Oscar ii, informado sobre estas dificultades, quiso festejar su cumpleaños estableciendo un premio para el que pudiera resolver el problema, o para el que hiciera la mejor contribución que ayudara a su comprensión.

Figura 3.8: Henri Poincaré, 1854-1912. La cita es de su libro Science et méthode (1908). (Foto de E. Pirou, 1887. Wikimedia Commons.)

El ganador fue el matemático francés Henri Poincaré. No obtuvo la expresión matemática de las trayectorias que hubiera deseado el rey Oscar, pero ayudó a comprender que el problema tiene una complejidad mucho mayor de lo que parece a primera vista. En el anuncio del premio, el rey Oscar se refería a un sistema de un número arbitrario de masas puntuales que interactúan de acuerdo a la ley de gravitación de Newton y que, por simplicidad, no chocan entre sí. Poincaré simplificó el problema aún más de la siguiente forma. Consideró tres cuerpos que se mueven sobre un plano. Dos de estos cuerpos tienen masas grandes. Se trata, por ejemplo, de dos estrellas girando una respecto a la otra. El tercer cuerpo es un asteroide, de masa mucho menor, que no afecta el movimiento de las estrellas.

Figura 3.9: Ejemplo de órbita en el problema de tres cuerpos. Se consideran dos estrellas que se mantienen a distancia constante y que giran respecto a un punto ubicado sobre la línea que las une. La curva enredada representa la trayectoria caótica de un tercer cuerpo, de masa menor, que no afecta el movimiento de las estrellas.

El problema se reduce a describir cómo se mueve el asteroide. Desde un punto de vista matemático, la evolución del sistema está determinada en forma completa por la posición y velocidad inicial de cada cuerpo y por las fuerzas de interacción entre ellos. La dificultad está en que no es posible encontrar una fórmula general y simple para la trayectoria del asteroide. Se tenía la impresión de que los objetos celestes debían realizar movimientos ordenados y previsibles, de tipo periódico, pero Poincaré encontró —usando técnicas matemáticas que él mismo inventó— que el asteroide tenía órbitas que no eran periódicas ni se iban al infinito. Hoy contamos con una herramienta que permite visualizar la complejidad que Poincaré logró intuir. Con una computadora es posible calcular paso a paso, a intervalos de tiempo pequeños, la trayectoria del asteroide, como se ve en la figura 9. Las dos estrellas se mantienen a una distancia constante y giran con respecto a un punto que se encuentra sobre la línea que las une. Desde la perspectiva de una persona que gira con la misma frecuencia, las estrellas están fijas a lo largo de esa línea, como se ve en la figura. Lo primero que llama la atención es el aspecto desordenado de la trayectoria, que contrasta con la órbita simple y periódica de un planeta en torno a una estrella. Una característica importante de esta trayectoria es la ausencia de periodicidad. No existe una porción de la trayectoria que se repita a intervalos regulares. En otras palabras, el asteroide nunca vuelve a pasar por el mismo punto con la misma velocidad. Otra característica importante es que si se cambia un poco la posición o la velocidad inicial del asteroide, la trayectoria cambia. Luego de cierto tiempo, el asteroide puede estar en una posición muy diferente. Esta sensibilidad a la condición inicial, junto con la no periodicidad, son las señales distintivas de una dinámica caótica que, además, debe mantenerse acotada. Se pueden dar situaciones de inestabilidad en las que el asteroide toma suficiente energía para alejarse para siempre, hacia el infinito, del sistema binario de estrellas; en este caso la trayectoria no es caótica.

En 1898, el matemático francés Jacques Hadamard logró lo que se considera la primera demostración matemática de comportamiento caótico[10]. Analizó el movimiento de una partícula sobre una superficie peculiar: un toro, o rosquilla, doble, y comprobó que toda trayectoria se separa exponencialmente, al avanzar el tiempo, de las trayectorias cercanas. Otros sistemas simples, donde se observan fenómenos similares, son el billar de Sinai o el estadio de Bunimovich, que se muestran en la figura 10.

Figura 3.10: Arriba, estadio de Bunimovich; abajo, billar de Sinai. Se trata de dos modelos simples en los que hay sensibilidad a las condiciones iniciales y caos. Las partículas se mueven sin fricción y rebotan en las paredes. Condiciones iniciales cercanas se separan luego de unos pocos rebotes.

Se puede usar el estadio de Bunimovich para estimar la precisión necesaria con la que se debe conocer la condición inicial para poder predecir, luego de 15 segundos, en qué mitad del estadio se encontrará la partícula.[11] Suponiendo que se mueve a 1 m/s y que la altura del estadio es de 50 cm, el error de la posición inicial debería ser menor que la diez millonésima parte de un metro (algo similar sucede con la velocidad inicial). Esa enorme precisión es necesaria para poder predecir sólo en qué mitad del estadio se encontrará la partícula luego de 15 segundos. Predecir en qué mitad se encuentra podría ser interesante, y provechoso, si imaginamos que la partícula es una bola en una ruleta. Pero el movimiento de la bola es también, en parte, caótico y presenta el mismo tipo de dificultades que el estadio de Bunimovich para la realización de predicciones: se debe conocer la situación inicial con mucha precisión con la dificultad adicional de que, además de la posición y velocidad de la bola, se debe conocer también la posición y velocidad angular de la ruleta. Por ejemplo, una pequeña variación de la velocidad inicial de la bola puede hacer que choque con alguno de los obstáculos en forma de diamante que hay en la parte exterior de la ruleta, desviando la trayectoria. Aun así, el tiempo que dura el caos en la ruleta es relativamente menor. La mayor parte del tiempo la bola gira en forma regular en la parte externa, lo que podría dar esperanzas de realizar alguna predicción, al menos aproximada, a pesar de las dificultades mencionadas. A fines de la década de 1970 un grupo de estudiantes de física de la Universidad de California en Santa Cruz utilizaron leyes de dinámica y una pequeña computadora oculta en un zapato con el objetivo de predecir en qué octante de la ruleta caería la bola. Algunos sitios de Internet afirman que tuvieron éxito. Todo lo que el apostador necesita es que el método acierte con probabilidad un poco mayor que al azar. Sin embargo, no está claro cuánto ganaron y se supone que el proyecto de la ruleta nunca hizo mucho dinero[12]. Además, hoy los casinos controlan que no se usen dispositivos de cálculo que permitan aplicar un método similar. Mejores resultados se han obtenido utilizando las tendencias o imperfecciones de las ruletas. Haciendo estadísticas, se puede encontrar que en cada ruleta algunos números salen con frecuencias algo mayores que al azar. La clave está en conocerlos. Pero los casinos también controlan que no se hagan estadísticas. La conclusión es que, si hay una forma de ganar a la ruleta, su implementación tiene pocas garantías de éxito y requiere un considerable esfuerzo que lamentablemente frustra el objetivo inicial de ganar dinero sin trabajar.

Sistemas lineales y no lineales

Supongamos un sistema sencillo que puede describirse conociendo el valor de dos cantidades. Se dice que el sistema es lineal si al duplicar —o multiplicar por cualquier factor— una de las variables, también se duplica la otra. Un ejemplo es el resorte. Si llamamos F a la magnitud de la fuerza que realiza y x al estiramiento, se tiene la relación lineal F=kx, donde k es una constante[13]. Se llama “relación lineal” porque si graficamos los valores de F para distintos valores de x se obtiene una línea recta, como se ve en la figura 11.

Figura 3.11: Sistema lineal. El gráfico de la fuerza del resorte en función del estiramiento es una línea recta. En el esquema de la derecha se muestra que al duplicar la fuerza del peso que cuelga del resorte se duplica el estiramiento.

A diferencia del ejemplo anterior, en un sistema dinámico las variables cambian con el tiempo, y en las ecuaciones también aparecen tasas de cambio de esas variables. Si el sistema es lineal, se puede comprobar que el comportamiento es simple, no caótico. Solo puede haber oscilaciones o decaimientos monótonos a un estado de equilibrio. Un ingrediente fundamental para que haya caos es la no linealidad. Las ecuaciones que involucran las variables y sus tasas de cambio no deben tener una relación lineal como la de la figura 11. En este caso, además de las situaciones simples, puede haber caos y también otros comportamientos extraños como la formación espontánea de patrones o estructuras espaciales (estos cambios bruscos que surgen al variar un parámetro se conocen como transiciones de fase de no equilibrio). De la no linealidad de las ecuaciones surge riqueza de comportamientos.

A principios de la década de 1960, el matemático y meteorólogo estadounidense Edward Lorenz intentó demostrar las limitaciones de los modelos lineales usados hasta entonces para predicciones meteorológicas. Propuso un modelo no lineal que representaba una atmósfera simplificada. Buscaba reproducir el fenómeno de convección que se da cuando el sol del mediodía incide sobre la superficie de la tierra, el aire caliente se eleva y es reemplazado por aire frío que baja. Lorenz tenía una computadora capaz de hacer 60 multiplicaciones por segundo que utilizó para resolver sus ecuaciones (hoy pueden funcionar un billón de veces más rápido). Con su modelo simple y su computadora lenta desde la perspectiva actual, obtuvo comportamientos similares a los del clima real: tendencias persistentes interrumpidas por cambios rápidos. Lo más interesante ocurrió cuando intentó reproducir resultados partiendo de una condición inicial con cambios mínimos, que habían sido introducidos de manera involuntaria o accidental, por el redondeo de algunas cifras. Esperaba encontrar resultados que ya conocía, pero los pequeños cambios fueron suficientes para producir grandes divergencias en los patrones del clima. Lorenz observó en su modelo la sensibilidad a las condiciones iniciales de la que se habló antes, y la llamó “efecto mariposa”. En 1972 dictó una conferencia titulada ¿El aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas?. La frase se refiere al hecho de que el aleteo de una mariposa produce un cambio mínimo en las condiciones iniciales de la atmósfera en un momento dado.

Figura 3.12: Atractor de Lorenz. La figura, similar a una mariposa, se encuentra en un espacio de tres dimensiones, el plano de un ala se encuentra a cierto ángulo con respecto a la otra. La curva es una trayectoria a la que cualquier condición inicial se acerca con el tiempo, de ahí su nombre de atractor. La complejidad de esta trayectoria caótica es similar a la de la figura 9, pero el espacio en que se mueve no es el “normal”. Los ejes de coordenadas (no mostrados) están relacionados con variables del modelo de la atmósfera de Lorenz, como la velocidad de circulación del aire, la diferencia de temperatura entre el aire que sube y el que baja y la dependencia de la temperatura con la altura.

El efecto de ese pequeño cambio crece con el tiempo hasta causar grandes modificaciones semanas después, como, por ejemplo, un tornado en un lugar lejano. Por supuesto, esto no significa que la energía del tronado provenga de la mariposa; el cambio de la condición inicial solo produce una distribución diferente de la energía en el futuro. Con la misma arbitrariedad uno podría imaginar un cambio menos catastrófico: la mariposa y su aleteo también podrían ser los responsables de que el tornado no se produzca.

A partir de los trabajos fundacionales de Lorenz, la computadora se transformó en una herramienta indispensable para el estudio del caos.

Caos y fractales

Una característica típica de los objetos fractales es la autosimilitud: al cambiar la escala, o sea al acercarnos o alejarnos, el objeto tiene un aspecto similar. La definición más general de fractal incluye la idea de un patrón detallado, o intrincado, que se repite a sí mismo indefinidamente. Los objetos de la geometría Euclídea, o no fractal, tienen dimensión entera: una línea tiene dimensión 1, una superficie tiene dimensión 2 y el espacio en el que nos movemos tiene dimensión 3. La dimensión de un fractal, en cambio, no necesariamente es un entero. Un ejemplo típico de fractal es el conjunto de Mandelbrot, que se muestra en la figura 13. Al ampliar una zona del límite del conjunto se observan figuras similares.

Figura 3.13: Conjunto de Mandelbrot. Cada punto del plano tiene coordenadas x e y. Estos valores se introducen en una fórmula que da otro par de valores. El resultado se vuelve a introducir y el proceso se repite un número grande de veces. El objetivo es ver si la serie diverge o no. Todos los puntos que están dentro del conjunto no divergen, los que están fuera, sí. El límite es una curva tan intrincada que tiene longitud infinita. (Wikimedia Commons.)

Existe una relación entre caos y objetos fractales. Una dinámica simple, como oscilaciones o decaimiento al equilibrio, se representa con gráficos simples: curvas cerradas o puntos aislados. La dinámica caótica se representa con gráficos complejos que suelen tener una estructura fractal. Usaremos un sistema conocido como oscilador de doble pozo para ilustrar esta relación.

Figura 3.14: Esquema del oscilador de doble pozo.

En el esquema de la figura 14, una esfera se mueve a izquierda o derecha en un paisaje con dos pozos. La esfera se queda oscilado en torno al mínimo de uno de los pozos o, si tiene suficiente energía, supera la barrera del medio y oscila recorriendo ambos pozos. Al considerar el amortiguamiento, producido por ejemplo por la fricción del aire, se observa que la amplitud de las oscilaciones disminuye poco a poco hasta que el objeto se queda quieto, en su posición de equilibrio, en el fondo de uno de los pozos. Ahora agregamos el forzamiento. Una forma de introducirlo es suponer que se hace oscilar el soporte sobre el que se mueve la esfera. Mientras el forzamiento sea pequeño, el comportamiento seguirá siendo simple: una oscilación periódica. Supongamos que observamos el sistema a intervalos de tiempo iguales al período de la oscilación. Podemos imaginar que estamos iluminando con una luz estroboscópica que tiene la misma frecuencia que el oscilador. Al observar con esta luz parecerá que el objeto está quieto. Cada vez que se ilumina tiene la misma posición x y la misma velocidad v. Se puede analizar el comportamiento del oscilador con el siguiente diagrama: se dibuja un eje horizontal que representa la posición x y uno vertical para la velocidad v. Un par de valores x y v es un punto en este diagrama. Entonces, si al representar el comportamiento del oscilador de esta forma solo se observa un punto, significa que tenemos una simple oscilación periódica (también podría tratarse del estado de equilibrio, que sería un caso particular).

La situación cambia al aumentar el forzamiento, o disminuir el amortiguamiento. El comportamiento se hace poco a poco más complicado. Lo primero que se observa es que, si el oscilador pasa por un punto (x,v) determinado, al siguiente flash lo vemos en un punto distinto, y vuelve al inicial cuando la luz estroboscópica ilumina otra vez. El sistema alterna entre estos dos pares de valores de posición y velocidad. Deben pasar dos períodos para que el sistema retorne a su situación inicial; a este cambio de comportamiento se lo llama “duplicación de período”. Seguimos aumentando el forzamiento y vuelve a aparecer una duplicación de período: cada punto se separa en dos y el sistema recorre los cuatro puntos una y otra vez. Luego se sucede lo que se conoce como una cascada de duplicación de períodos. Y al final del proceso tendremos período infinito, es decir, el comportamiento se hace no periódico pues es necesario un tiempo infinito para volver al punto inicial. Aquí es donde aparecen los fractales. En el diagrama de posición y velocidad, ese conjunto infinito de puntos forma un objeto fractal, como se ve en la figura 15.

Figura 3.15: Cada punto de estos diagramas representa la posición y la velocidad del oscilador de doble pozo, a intervalos iguales. En el régimen caótico, la sucesión de valores no vuelve a pasar por el mismo punto, es aperiódica, y la figura que se forma es un fractal. Al ampliar se observa que cualquier zona donde parece haber una línea está formada, en realidad, por infinitas líneas más pequeñas.

Si se amplia cualquier zona de la figura, hasta llegar a escalas tan pequeñas como se desee, siempre se encontrará una estructura compleja de aspecto similar. Es asombroso que un sistema tan simple como el oscilador de doble pozo pueda generar figuras tan extrañas y complejas.

En resumen, los comportamientos simples, como oscilaciones o decaimiento a un estado de equilibrio, se representan con gráficos simples. En cambio, la representación del comportamiento caótico requiere del uso de gráficos fractales, que poseen una complejidad que se mantiene a cualquier escala.

La palabra “fractal” fue inventada en 1975 por Benoît Mandelbrot. En su libro, The Fractal Geometry of Nature (1982), dice

Acuñé fractal del adjetivo latino fractus. El correspondiente verbo en latín, frangere, significa “quebrar”, crear fragmentos irregulares. Por lo tanto es sensato —¡y cuán apropiado a nuestras necesidades!— que, además de “fragmentado” (como en fracción o refracción), fractus también signifique “irregular”.

Como hemos visto, el comportamiento caótico aparece en sistemas muy diversos: partículas que chocan, la atmósfera, o tres o más masas que interaccionan con la fuerza de la gravedad. Pero hay muchos más. También puede aparecer en reacciones químicas, dinámica de poblaciones, láser, fluidos, circuitos electrónicos o valores de la bolsa. O algo tan simple como un péndulo doble.

Péndulo doble

Un péndulo simple oscila de forma indefinida si no posee fricción o, en caso contrario, reduce la amplitud de su movimiento poco a poco hasta detenerse. Nada más. Con una pequeña modificación tendremos algo más interesante. Supongamos que el peso del péndulo cuelga de una varilla rígida y que, del propio peso, cuelga otro péndulo similar. Se lo aparta del equilibrio y se lo suelta. Ahora el movimiento no es periódico sino desordenado y caótico, como se ve en la figura 16.

Figura 3.16: La fotografía muestra la trayectoria caótica del extremo de un péndulo que cuelga de otro. Se obtuvo colocando un led en el extremo y tomando la foto con una exposición larga. Los péndulos están hechos con varillas rígidas. (Foto: George Ioannidis, Wikimedia Commons.)

Circuito de Chua

En circuitos electrónicos puede haber caos cuando se incluye algún componente no lineal, o sea, un elemento en el que, por ejemplo, la caída de tensión no sea proporcional a la corriente que pasa por él. Es lo que sucede en el circuito de Chua, que se muestra en la figura 17.[14]

Figura 3.17: Circuito de Chua. Consiste de una inductancia L, dos capacitores, C₁ y C₂, una resistencia variable R y el diodo de Chua. El diodo es un componente no lineal que, para cierto rango de la tensión, se comporta como una resistencia negativa, es decir, la tensión en el diodo impulsa la corriente —con una fuente externa no dibujada— en lugar de frenarla.

No es necesario entrar en los detalles del funcionamiento del circuito. Bastará saber que consiste de algunos elementos lineales —una inductancia, dos capacitores y una resistencia— y uno no lineal: el diodo de Chua. Se miden los valores de la tensión, V₁ y V₂, en los extremos de la resistencia. El resultado de la medición se puede observar en la pantalla de un osciloscopio de la siguiente forma. En la pantalla aparece un punto cuya posición horizontal representa la tensión V₁, y la vertical, la V₂. Al variar el valor de la resistencia R cambia el comportamiento del circuito. Para una R grande, el punto del osciloscopio se queda quieto indicando que los valores de la tensión están en un estado estacionario y estable. Al disminuir R, lo primero que se observa son oscilaciones, tanto V₁ como V₂ oscilan y dibujan una curva cerrada en la pantalla. Luego, la figura se complica poco a poco (a través de una cascada de duplicación de período) hasta llegar al caos que se ve en la figura 18.

Figura 3.18: Caos en el circuito de Chua. La dirección horizontal representa la tensión V₁, y la vertical, la V₂ (ver figura 17). La figura superior muestra el resultado experimental que se observa en la pantalla de un osciloscopio. La inferior es la predicción teórica que se obtiene de solucionar las ecuaciones correspondientes con una computadora. Existe un excelente acuerdo entre la teoría y el experimento incluso en esta situación tan compleja. (Imagen superior: cortesía del Dr. Luis Bernal, Universidad Nacional de Mar del Plata.)

En la figura se muestra el resultado experimental que se obtiene con el osciloscopio y también el resultado teórico que se obtiene de resolver, con una computadora, las ecuaciones que describen este circuito.

Crecimiento de poblaciones

Uno de los primeros y más influyentes estudios sobre el crecimiento de poblaciones fue el libro de Thomas Robert Malthus, Ensayo sobre el principio de la población, de 1798. Propuso un modelo en el que la población crece de forma exponencial, siempre que se mantenga un suministro suficiente de alimentos o recursos. El modelo se aplica no solo a poblaciones humanas, sino también a otras especies, incluso bacterias. El crecimiento exponencial surge de una suposición simple: la población aumenta un dado porcentaje a intervalos de tiempo regulares. Por ejemplo, supongamos que una bacteria se separa y produce dos bacterias en una hora. La población de bacterias crecerá, cada hora, de la siguiente forma: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128..., lo que constituye un crecimiento exponencial dado por la fórmula 2n. El modelo funciona bien en la etapa inicial, cuando la población no ha crecido demasiado. Suponiendo que el crecimiento de las bacterias tiene lugar en un plato de Petri (un recipiente de vidrio con el fondo plano), habrá un límite de alimento y de espacio. El crecimiento exponencial, por supuesto, no puede mantenerse indefinidamente.

Llamemos P al número de bacterias y Pmax al número máximo que puede haber. Podemos definir la cantidad x = P/Pmax. Si x=0 no hay bacterias y si x=1 se alcanzó la población máxima. Si cada hora el número se duplica, podemos escribir el nuevo valor de x como xnuevo = 2 x. Aplicando esta ecuación de forma repetida tendremos el crecimiento exponencial que se mencionó antes, y llegaría un momento en el que se supera el valor máximo de la población. Una manera simple de corregir este problema del modelo es reemplazar la ecuación anterior por lo que se conoce como fórmula logística:

xnuevo = 2 x (1 – x)

El factor 1−x frena el crecimiento, porque cuando x crece y se acerca a 1, ese factor es pequeño. Ahora el comportamiento del modelo es más razonable, y representa mejor las observaciones experimentales. A tiempos cortos, cuando x es pequeño, hay un crecimiento exponencial, pero ese crecimiento se frena poco a poco hasta alcanzar un valor de saturación que corresponde a la mitad de la población máxima. Notar que si se reemplaza x por 1/2 en la ecuación anterior, el xnuevo vuelve a ser 1/2, o sea, la población se queda en ese valor; tiene un valor estacionario. El comportamiento de la población en función del tiempo se puede ver en la figura 19, donde se compara el crecimiento exponencial de la ley de Malthus con la saturación que se obtiene con la corrección de la fórmula logística.

Figura 3.19: Los puntos representan el valor de la población de una colonia de bacterias para distintos valores del tiempo. La ley de Malthus da un crecimiento exponencial, que se corrige con la ecuación logística, dando un resultado más realista: la saturación de la población.

Hasta aquí, nada demasiado extraño. Lo interesante surge cuando se cambia el factor 2 que aparece en la fórmula logística, un cambio que podría estar justificado por una modificación de la tasa de reproducción de las bacterias. Por ejemplo, si se usa un factor 3.1, la población oscila entre dos valores en lugar de saturar en un valor constante. Si se sigue aumentando su valor, hay una duplicación de período. Luego hay una duplicación tras otra hasta llegar al caos. En la figura 20 se muestra el aspecto que tiene la población en función del tiempo para estos casos.

Figura 3.20: Comportamiento de la población en función del tiempo para distintos valores del factor en la ecuación logística. Desde arriba hacia abajo, el fator 2 se ha reemplazado por 3.1, 3.5 y 3.8.

La figura 21 presenta lo que se conoce como “diagrama de bifurcaciones” que condensa en un solo gráfico los valores de la población a tiempo grande para un rango de valores del parámetro de la ecuación.

Figura 3.21: Diagrama de bifurcaciones de la ecuación logística. Resume la información de los gráficos de la figura anterior para valores del parámetro entre 2.4 y 4 (eje horizontal). El eje vertical representa la población a tiempo grande. De izquierda a derecha se observan las bifurcaciones en cada duplicación de período, hasta llegar al caos. (Wikimedia Commons.)

En cada punto donde se observa una bifurcación, se tiene una duplicación de período. La fórmula logística es un modelo matemático muy simple que, sin embargo, logra capturar varios aspectos del comportamiento de poblaciones. Cambiando el factor que aparece multiplicando, el modelo puede representar el crecimiento hasta saturar en un valor estacionario, y también oscilaciones y caos. Fue estudiado y popularizado por el biólogo Robert May en un artículo de la revista Nature[15]. Antes se suponía que el comportamiento desordenado y en apariencia azaroso se debía a la complejidad interna de sistemas de poblaciones de individuos y al gran número de influencias externas que podían existir. May mostró que el sistema no necesita ser complejo para tener un comportamiento caótico.

Economía

El modelo de la fórmula logística es útil para describir comportamientos cualitativos y generales. Una descripción precisa de un sistema biológico o sociológico, que permita cierto grado de predictibilidad, requiere una complejidad mucho mayor. En economía, se han realizado muchos estudios sobre series temporales de, por ejemplo, valores de acciones. Los test que se usan para establecer si esas series tienen comportamiento caótico no pueden determinar si la fuente del caos está dentro de la estructura —no lineal— de la economía o si proviene de sacudidas externas como, por ejemplo, cambios climáticos[16]. No existe un acuerdo general entre los economistas acerca de la interpretación del comportamiento de series temporales. Estos problemas hacen difícil el diseño de modelos matemáticos que puedan realizar predicciones confiables.

Usar la teoría del caos para hacer predicciones del comportamiento de la bolsa parece contradictorio, porque es justamente la teoría del caos la que ha establecido limitaciones drásticas en la predictibilidad soñada por Laplace. Un sistema caótico tiene poca, o nula, predictibilidad a largo plazo, pero puede tener una pequeña cantidad de orden a corto plazo. Un orden que puede ser explotable. Es lo que se cuenta en un artículo titulado Físico que hace dinero del caos[17]. La idea es identificar las pequeñas islas temporales de predictibilidad que se dan en el mercado, y apostar en ese momento. Es necesario buscar patrones de comportamiento que se repitan a lo largo de una serie temporal. Cuando se reconoce uno de estos patrones en el presente, entonces se toman decisiones de compra o venta en función de una predicción. La teoría del caos puede usarse para establecer hasta qué momento en el futuro la predicción puede tener algún grado de confiabilidad. Las predicciones, en este caso, no necesitan ser muy precisas. Como en el caso de la ruleta, es suficiente con acertar con probabilidades un poco mejores que las del azar.

Conclusiones

La teoría del caos, desarrollada principalmente durante las décadas de 1970 y 1980, cambió la forma en que entendemos los cambios temporales en sistemas físicos, químicos o biológicos, y también sociológicos. Problemas en los que antes solo se veía desorden causado por perturbaciones aleatorias o por una complejidad intrínseca, ahora se pueden describir y comprender con modelos matemáticos simples. Se ha descubierto que esa complejidad tiene reglas y que puede hacerse inteligible.

Una de las características principales del comportamiento caótico es la sensibilidad a las condiciones iniciales. Una pequeña variación de la situación inicial puede producir un cambio enorme en la situación final. Como decía Lorenz: el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro. Pero esto no es suficiente, pues es posible tener sensibilidad a las condiciones iniciales sin caos. Un ejemplo simple es el de una bola que se encuentra en la cima de una loma, en equilibrio inestable. Cualquier pequeño cambio hará que la bola caiga a derecha o izquierda, no se puede predecir dónde terminará. Pero una vez que cae tiene un movimiento simple, no caótico. Para tener caos es necesaria otra condición: la no periodicidad en una región acotada. Es decir, la trayectoria no deber alejarse indefinidamente y tampoco debe repetirse. La consecuencia es la dinámica desordenada que llamamos caos.

Capítulo 4

Números mágicos

Este capítulo contiene un análisis crítico de algunas afirmaciones sobre la sección áurea y una comparación con otro número con fama de mágico: la constante de estructura fina. Se usan letras griegas para identificar estos números: ϕ (fi) para la sección áurea y α (alfa) para la constante de estructura fina. Los valores que tienen son

                                             ϕ=1.618033989...

                                           1/α=137.03599911...

donde los puntos suspensivos indican una secuencia de cifras decimales que no termina nunca para ϕ y no se sabe si tiene fin para α. Aquí se intentará develar, al menos en parte, el misterio que rodea a estos números. También mostrar las curiosas similitudes y destacar las importantes diferencias que tienen entre sí.

Sección áurea

La sección áurea, o divina proporción, se define de la siguiente manera: se considera un segmento de longitud c y se lo corta en dos segmentos, de longitudes a y b, de modo que c/a=a/b, como se ve en la figura 1. Se dice que los segmentos resultantes a y b están en divina proporción uno respecto del otro, y el cociente a/b es igual a ϕ (que también es igual al cociente c/a).

Hagamos un pequeño paréntesis matemático para obtener una ecuación para ϕ. Como a/b=c/a=ϕ, de la relación c=a+b sale, dividiendo ambos lados de la ecuación por a:

                                                   ϕ=1+1/ϕ.

Se puede comprobar que la solución de esta ecuación es (1+√5)/2, y su valor aproximado es 1.618033989... (hay otra solución, pero no es la que buscamos porque es negativa). Algunos autores utilizan la letra griega Fi mayúscula, Φ, para designar a la inversa de ϕ, y suele recibir, también, el nombre de sección áurea.

Figura 4.1: El corte en el segmento inferior se ubica en un punto tal que la proporción entre c y a es la misma que entre a y b. Ambas proporciones son la famosa sección áurea.

Euclides (325 - 265 a. C.) fue el primero en referirse a la sección áurea en sus Elementos; la denominaba razón de extremo y medio.

El trabajo de Fibonacci (c. 1170 - c. 1250) —uno de los más grandes matemáticos de la Edad Media— tiene relación con la sección áurea. En su Liber Abaci propone un problema idealizado de reproducción de conejos y encuentra que el número de parejas crece de acuerdo a la siguiente secuencia

                                      1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...

Partiendo de los valores 1 y 1 para los dos primeros elementos, cada uno de los números siguientes se obtiene sumando los dos anteriores. Esta idea sencilla se transformó en una cantera inagotable de resultados de interés matemático. Tanto es así que desde 1963 existe una revista científica, Fibonacci Quarterly, dedicada a publicar artículos solo relacionados con los números de Fibonacci[18]. La relación con la sección áurea surge cuando se analiza el cociente de dos números consecutivos de la serie:

                                              13/8     =     1.625

                                             21/13     =     1.6153...

                                             34/21     =     1.6190...

                                             55/34     =     1.6176...

                                             89/55     =     1.6181...≃ϕ

A medida que se avanza en la serie, el cociente se parece cada vez más a la sección áurea.

La fascinación que ϕ ha producido a lo largo de la historia podría resumirse con una frase de Johannes Kepler (1571 - 1630):

La Geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el teorema de Pitágoras, el otro es la división de una línea en la razón de extremo y medio; al primero lo podemos comparar con una medida de oro, al segundo podemos llamarlo una joya preciosa.

Se supone que un rectángulo que posea esta proporción es el más placentero a la vista. Es una suposición que los fabricantes de aparatos electrónicos no han tenido en cuenta. En la figura 2 puede verse un rectángulo con la proporción ϕ, junto a otros que corresponden a televisión común, TV de alta definición y película fotográfica. Cada lector puede experimentar cuál es el rectángulo que le resulta más agradable. Para la mayoría no es simple encontrar una peculiaridad que, de algún modo misterioso, haga preferir el rectángulo con la proporción áurea.

Figura 4.2: Comparación entre el rectángulo áureo y otros rectángulos comunes. Cada número indica el cociente entre el ancho y el alto.

Detrás de la sección áurea hay una idea atractiva y estimulante. Muchos creen que este número está presente desde la Antigüedad no sólo en obras arquitectónicas, de arte, literatura o música, sino que también subyace semioculto en todo el universo y se manifiesta cuando se observa con cuidado la naturaleza. Sería el número que Dios habría usado como medida para la creación. Según el psicólogo alemán, Adolf Zeising (1854), la sección áurea opera como una ley universal[19]

que contiene el principio básico de toda forma que se esfuerza por alcanzar belleza y completitud en los reinos de la naturaleza y el arte, y que impregna, como un ideal espiritual supremo, todas las estructuras, formas y proporciones, tanto cósmicas como individuales, orgánicas o inorgánicas, acústicas u ópticas; que encuentra su realización más completa, sin embargo, en la forma humana.

Aquí se enfocará la atención en la aparición de la sección áurea en la naturaleza. Para quien desee saber más sobre la sección áurea en obras construidas por la humanidad a lo largo de los siglos, el artículo de Markowsky (ver bibliografía) analiza en forma crítica el supuesto uso de la sección áurea en la pirámide de Keops, el Partenón, la Eneida de Virgilio, las pinturas de Leonardo o el edificio de las Naciones Unidas.

La idea de que la sección áurea subyace oculta en la estructura de todo el universo logró cierta difusión, hace algunos años, con la novela de Dan Brown, El Código Da Vinci. El siguiente párrafo expone la ubicuidad y el misterio de este número. El personaje principal, el profesor Langdon, explica el tema a sus alumnos:

A pesar de los orígenes aparentemente místicos de ϕ, (…) el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón de ϕ a 1.

Más adelante agrega:

...como veis, bajo el caos del mundo subyace un orden. Cuando los antiguos descubrieron el ϕ, estuvieron seguros de haber dado con el plan que Dios había usado para crear el mundo, y por eso le rendían culto a la Naturaleza.

Langdon menciona una serie de ejemplos en los que se observa la aparición de ϕ en la naturaleza. Algunos tienen base real. Sin embargo, quizá por una licencia literaria o para fortalecer el aspecto místico de una idea que va bien con la novela, exagera la exactitud con la que se observa ϕ y omite las razones por las cuales ciertos seres vivos, a través de la evolución, tomaron formas que concuerdan con ϕ. El hecho de que estas exageraciones o errores aparezcan en una novela no parece, en principio, preocupante ni censurable. Lo que se intenta analizar aquí, en forma crítica, son las ideas que rodean a la sección áurea, que son anteriores a la novela de Brown y que dicha novela sólo ha contribuido a divulgar. La idea de que Dios usó un número en la Creación, y que ese número explica la forma de los seres vivos, es atractiva y fascina por su simplicidad y profundidad. Se tiene la agradable sensación de haber arrancado un secreto al Universo y de haber avanzado en la comprensión de su estructura. Pero el hecho de que una idea sea atractiva no significa que sea verdadera. Una vez que una idea de este tipo se populariza, es prácticamente imposible corregirla. Hasta tal punto que incluso aparece en el logo de una de las instituciones científicas más prestigiosas y extraordinarias del país: el Museo de Ciencias Naturales de La Plata, en el que se observa una espiral con la proporción áurea.

A continuación se analizan, en forma resumida, algunas afirmaciones típicas respecto a la sección áurea en la naturaleza.

¿La proporción entre hembras y machos en cualquier panal de abejas es igual a ϕ?

Puede demostrase que la proporción entre los antepasados de una abeja macho y una hembra tiende a ϕ a medida que se retrocede en el tiempo (lo que no es equivalente a afirmar que la proporción en un momento determinado sea ϕ). Esta peculiaridad se debe a que no todas las abejas tienen dos padres. Las abejas macho, o zánganos, se producen a partir de los huevos no fertilizados de la reina, por lo tanto tienen madre, pero no tienen padre. Todas las abejas hembras, trabajadoras o reina, surgen de huevos fertilizados por un zángano, por lo tanto tienen dos progenitores. En la figura 3 se muestra el árbol genealógico de una hembra y de un macho. En los árboles genealógicos usuales, el número de antepasados crece como potencias de 2: 2 padres, 4 abuelos, 8 tatarabuelos, etc. Con las abejas es diferente: el número de antepasados no corresponde a una potencia de 2 sino a la secuencia de Fibonacci.

Figura 4.3: Árboles genealógicos de una abeja hembra (F) y una macho (M). Los números de los costados, que siguen la serie de Fibonacci, indican la cantidad de antepasados en cada generación. La serie de los machos está desfasada en un lugar respecto a la de las hembras.

La cantidad de antepasados de un macho en cada generación es siempre menor que la de una hembra. La secuencia de Fibonacci del árbol del macho está desfasada en un lugar con respecto a la de la hembra. Por lo tanto, la proporción entre los antepasados de una abeja hembra respecto a los de una macho es el cociente entre dos números consecutivos de la serie de Fibonacci y, cuando más retrocedemos en el tiempo, dicha proporción tiende a ϕ. Este resultado es un ejemplo interesante de la aparición de ϕ en la naturaleza. Sin embargo, la afirmación de que la proporción entre abejas hembra y macho, en un momento determinado, sea ϕ, es equivocada y se trata de una deformación del resultado anterior. En general, hay más hembras que machos en una colonia de abejas, pero la proporción exacta depende de cada especie[20] y está relacionada con otros factores como el tiempo de vida promedio de las hembras y de los machos.

¿La espiral de un caracol nautilo tiene la proporción de la sección áurea?

Las espirales de las figuras 4 (b) y (c) están contenidas en rectángulos que tienen proporciones entre alto y ancho iguales a 1.33 y ϕ respectivamente. Se han dibujado otros rectángulos que contienen porciones cada vez más pequeñas de las espirales. Las espirales contenidas en los rectángulos más pequeños tienen las mismas proporciones que las grandes. Se trata de espirales logarítmicas. Para este tipo de espiral la distancia desde el centro crece exponencialmente con el ángulo.

La espiral de un caracol nautilo se aproxima muy bien a una espiral como la de la figura 4 (b). La espiral logarítmica satisface un requerimiento útil para el nautilo: mantiene las mismas proporciones a medida que crece. De esta forma, el nautilo usa el mismo habitáculo durante toda su vida y, con el tiempo, sólo le va agregando secciones. Las espirales logarítmicas pueden tener proporciones muy distintas. Sin necesidad de realizar mediciones, se ve que la proporción de la espiral del nautilo (b) no es la misma que la de la espiral áurea (c). La proporción del rectángulo que contiene al nautilo (1.33) es un número bastante diferente de ϕ[21]. En la naturaleza abundan las formas que se aproximan a espirales logarítmicas y es posible que alguna coincida con la espiral áurea. No es el caso del nautilo. Es notable el éxito con que se ha propagado esta afirmación errónea. Quizá por su simplicidad resulta una idea atractiva que se repite en cientos y cientos de páginas de Internet.

Figura 4.4: (a) Corte de un caracol nautilo, (b) espiral contenida en un rectángulo de proporción 1.33 y (c) espiral construida a partir de un rectángulo con la divina proporción. La espiral en (b) es la que coincide con el nautilo. (Izquierda: foto del autor, Museo del Mar.)

¿Las semillas de girasol crecen en espirales opuestos que tienen la proporción áurea?

Figura 4.5: Espirales en una flor silvestre. En negro y gris se destacan dos espirales opuestas. Si se cuentan las espirales de cada tipo se obtienen dos números de Fibonacci consecutivos: 13 y 21. (Foto del autor.)

Las semillas en la flor de girasol, y en otras flores, se acomodan en espirales que no tienen la proporción de la espiral áurea de la figura 4 (c). La afirmación es, en realidad, una deformación de un aspecto curioso e interesante de los girasoles, piñas o plantas similares en las que las semillas se acomodan formando espirales. Los números de Fibonacci y, en consecuencia, la sección áurea, de hecho aparecen en la estructura de estas plantas.

En todos los casos se tienen dos grupos superpuestos de espirales que giran en sentidos contrarios. Lo interesante es que la cantidad de espirales es igual, o se aproxima, a un número de la secuencia de Fibonacci. En el caso de la figura 5, la cantidad de espirales que giran en el sentido de la que se pintó de negro es 13, y las que tienen el sentido de la que se pintó de gris son 21. Estas cantidades no sólo son números de Fibonacci, siempre son números consecutivos de la secuencia. Debido a la conexión que existe entre números de Fibonacci consecutivos y ϕ, si se tiene un número lo suficientemente grande de espirales, la proporción entre espirales que giran en un sentido y el opuesto se aproxima a la sección áurea. Esta estructura ha sido observada y descrita en diversas publicaciones científicas desde aproximadamente 1830 y aún en la actualidad es un tema que presenta aspectos abiertos a la investigación[22]. Tiene la característica de optimizar el empaquetamiento de semillas, ubicando la mayor cantidad posible en un área determinada, a medida que crecen desde el centro de la cabeza de la flor.

La aparición de la sección áurea o los números de Fibonacci en la estructura de las plantas es bastante usual y se la conoce como filotaxis de Fibonacci (phyllo: hoja, taxis: organización). La figura 6 muestra una planta de aloe vera. De acuerdo con el tamaño de las hojas se puede establecer un orden de aparición. El ángulo entre dos hojas sucesivas se aproxima bastante a 138°, y la relación de este ángulo con respecto a su ángulo complementario (360°−138°=222°) es igual a la sección áurea. La razón, nuevamente, no es un misterio. Se puede demostrar que cuando cada hoja surge a 138° de la anterior, la planta se asegura de que las hojas nuevas hagan la menor sombra posible a las viejas. De esta forma se optimiza no sólo la absorción de energía solar sino también la captación de agua que fluye a través de las hojas al tallo y a las raíces.

Figura 4.6: Planta de aloe vera vista desde arriba. Las líneas indican el ángulo entre dos hojas sucesivas (de tamaño similar). La proporción entre este ángulo y su complementario corresponde a la sección áurea: 222/138≃1.61. (Foto del autor.)

Otro dato interesante: la mayoría de las flores tienen una cantidad de pétalos igual a un número de Fibonacci.

¿La altura de una persona dividida la altura de su ombligo es igual a ϕ?

Hay quienes se han tomado el trabajo de medir la posición del ombligo de varios individuos y de hacer una estadística. Según Sommers y otros[23], luego de medir a 319 personas, la posición promedio del ombligo se encuentra alrededor de 1,8 centímetros más bajo de donde debería estar según la sección áurea. Debido a que las fluctuaciones son bastante grandes, es posible que la posición del ombligo de algún individuo con respecto a su altura corresponda a la sección áurea, mientras que para otros la diferencia será aún mayor que 1,8 centímetros. El ombligo hace un papel más decoroso que el nautilo para representar a la sección áurea, pero no del todo convincente.

Figura 4.7: El hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci. La línea horizontal marca la altura de la proporción áurea. Si se observa con cuidado, se ve que la línea no se encuentra sobre el ombligo sino un poco por encima de él. (El hombre de Vitruvio, Leonardo da Vinci, 1487, Galería de la Academia, Venecia. Foto: Luc Viatour, www.Lucnix.be, Wikimedia Commons.)

Si el ombligo de la mayoría de los seres humanos estuviera ubicado con mayor precisión según la sección áurea, no habría ningún motivo para considerar este resultado como algo más que una casualidad.

En conclusión, la aparición de ϕ en la estructura de algunas plantas —la conocida filotaxis de Fibonacci—, que se observa especialmente en hojas y semillas, es sin dudas un hecho notable. Este fenómeno no es un misterio, sino que puede comprenderse en términos de eficiencia y selección natural. Su observación no parece suficiente para afirmar que la sección áurea subyace semioculta en la estructura de todo el universo, o que Dios la haya usado como medida de su creación.

Dada la gran complejidad que existe en la naturaleza, es casi seguro, luego de analizar distintas estructuras, que se podrá encontrar la proporción de la sección áurea o, en general, cualquiera de las proporciones que aparecen en la figura 2 u otras. Esta búsqueda es la misma que muchos seudo-arqueólogos realizan al analizar las combinaciones de números que pueden surgir de una pirámide; se la llama falacia de la piramidología. Martin Gardner la describe en su libro Fads and Falacies in the Name of Science (1957):

Si se mide una estructura complicada como la pirámide, pronto se tendrán a mano una gran cantidad de longitudes con las que jugar. Si se tiene la paciencia suficiente para hacer malabares con ellas, seguro se encuentran muchos números que coinciden con fechas históricas importantes o con números de las ciencias. Como no se está limitado por ninguna regla, sería en verdad extraño que esta búsqueda de “verdades” de la pirámide no alcanzara un considerable éxito.

El número α

Existe, sin embargo, un número que satisface los requerimientos que ϕ no cumple: la ubicuidad y el misterio. Este número es menos conocido que ϕ y tiene un nombre con menos atractivo publicitario que “divina proporción”. Se llama “constante de estructura fina” y se lo designa con la letra griega α (alfa).

Figura 4.8: Esquema del experimento para medir el espectro del hidrógeno. Abajo, al ampliar el espectro se revela la estructura fina: una de las líneas está formada, en realidad, por dos líneas muy juntas.

Para explicar el significado de este nombre es necesario antes hablar sobre las líneas del espectro. Al pasar luz blanca a través de un prisma se revela que está formada por un rango de diferentes colores desde el rojo hasta el violeta: el espectro de la luz. El espectro que se obtiene de distintas fuentes luminosas puede ser más complejo; suele incluir líneas brillantes, llamadas espectro de emisión, o líneas oscuras, llamadas espectro de absorción. La luz producida por el átomo más simple, el hidrógeno, produce también el espectro más simple que, además, jugó un rol fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica a principios del siglo xx. El experimento se muestra, en forma esquemática, en la figura 8. La luz se genera con una descarga eléctrica dentro de un tubo con hidrógeno. La agitación producida por la descarga hace que los electrones de los átomos de hidrógeno aumenten su energía. La energía está cuantizada, es decir, cada electrón está en un nivel de energía bien definido y solo puede saltar entre distintos niveles. Luego de la descarga, el electrón decae a un nivel inferior liberando su energía en forma de luz. La luz generada de esta manera lleva la información de los niveles de energía del electrón, tiene la huella digital del elemento que la produjo. El prisma sirve para analizar las distintas frecuencias que componen el haz de luz. Cada frecuencia, o cada línea del espectro, corresponde a distintas diferencias entre niveles de energía del átomo de hidrógeno. Con este experimento sencillo se tiene información sobre la estructura de un átomo que tiene el tamaño de alrededor de la diez millonésima parte de un milímetro.

La mecánica cuántica explica la forma del espectro y también su estructura fina. Como se ve en la figura 8 si se amplía la línea roja del espectro se observa que, en realidad, está formada por dos líneas. El origen de este efecto está en que cada electrón, además de tener carga eléctrica, también se comporta como un pequeño imán. Al moverse en el campo eléctrico producido por el núcleo del átomo, se produce un campo magnético efectivo que interacciona con ese pequeño imán y modifica un poco los niveles de energía. En resumen, se puede comprobar que, para el hidrógeno, la separación entre líneas de la estructura fina, comparada con la separación de la estructura gruesa, es un número pequeño directamente relacionado con α. A su vez, α resulta ser una combinación de la velocidad de la luz, la carga del protón, la constante de Planck (relacionada con la cuantización de la energía) y la constante de fuerza de Coulomb, todas magnitudes medibles experimentalmente que pueden hallarse en cualquier tabla de constantes físicas. Si se hacen las cuentas, se obtiene α≃1/137. Su peculiaridad es que, a diferencia de esas magnitudes, α no tiene unidades. Su valor es independiente del sistema de unidades que se utilice, como también sucede con π o ϕ. Esta característica induce a pensar que α, en lugar de ser una magnitud empírica que conocemos con precisión limitada por los experimentos, debería poseer un valor deducible de alguna ecuación con la precisión que uno desee. Se trata de una intuición bastante fuerte basada en la creencia de que el universo es completamente cognoscible y descriptible a través de la matemática.

Alguien podría dudar de la ubicuidad de α. Después de todo, se puede medir la sección áurea en, al menos, algunas plantas, pero la constante de estructura fina solo se observa en experimentos complejos. Es cierto que medir α no es una tarea sencilla; sin embargo, subyace oculto en prácticamente todas nuestras observaciones y actividades. La incumbencia de α no se restringe a la estructura fina, también está relacionada con las interacciones eléctricas o magnéticas. Este tipo de interacciones se manifiestan continuamente. Si se pasa un dedo sobre este papel o pantalla, se sentirá su textura debido a la fuerza que se produce sobre el dedo. Esa fuerza es una interacción eléctrica entre los electrones más externos de los átomos que forman esta superficie y los del dedo. Estas palabras se perciben gracias a una interacción electromagnética que se produce en la retina y que transforma la luz en impulsos eléctricos que se transmiten a través del nervio óptico. Se podría hacer una lista inagotable de actividades cotidianas que involucran interacciones electromagnéticas. La presencia de α es, sin dudas, ubicua.

Una historia sobre cargas eléctricas

Para explicar con más precisión cuál es el papel de α en las interacciones electromagnéticas es necesario hacer un poco de historia. La primera descripción precisa de la interacción que existe entre partículas con carga eléctrica fue propuesta por Charles de Coulomb en el siglo xviii. Hay dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa. Cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen. La fuerza de atracción o repulsión depende de la intensidad de las cargas y es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. La interacción a distancia propuesta por Coulomb está inspirada en la ley de gravitación universal de Newton, que tiene una forma similar.

Figura 4.9: Charles de Coulomb (1736-1806). Cargas iguales se repelen, y las distintas se atraen, con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. (Retrato de Coulomb por H. Lecomte. Wikimedia Commons.)

Durante el siglo xix, Michael Faraday propuso una descripción diferente que, a primera vista, puede parecer superflua, pues no modifica las predicciones de la teoría de Coulomb. Sin embargo, terminó produciendo una revolución en la comprensión de las interacciones electromagnéticas. La idea de Faraday es que cada carga eléctrica modifica el espacio que la rodea produciendo, de alguna manera, lo que llamó un “campo”. La presencia de este campo es lo que genera la fuerza en otra carga que esté cerca. El campo se representa gráficamente usando líneas, como se ve en la figura 10. Las zonas donde las líneas están más juntas corresponden a regiones donde el campo es más intenso. Una partícula dentro del campo experimentará una fuerza de magnitud proporcional a su carga y a la intensidad del campo.

Figura 4.10: Michael Faraday (1791-1867). Una carga eléctrica produce un campo que se representa con las líneas de la figura. Otra carga positiva experimentará una fuerza en la dirección indicada por las líneas de campo. Una negativa tendrá una fuerza opuesta. (Retrato de Faraday, óleo de T. Phillips, 1842. Wikimedia Commons.)

Figura 4.11: Se distribuyen limaduras de hierro uniformemente sobre un papel. Cuando se coloca un imán bajo el papel, las limaduras se orientan a lo largo de las líneas de campo magnético. (Newton Henry Black y Harvey N. Davis, 1913, Practical Physics, The MacMillan Co., p. 242, fig. 200. Wikimedia Commons.)

Hasta aquí se ha hablado de campo eléctrico. También existe el campo magnético que se produce por cargas eléctricas en movimiento o por imanes. Una forma de visualizar las líneas de campo magnético es utilizando limaduras de hierro, como se ve en la figura 11.

La revolución se produjo cuando James Clerk Maxwell analizó las ecuaciones en 1865 y descubrió un hecho extraordinario. Se suponía que sin cargas eléctricas o imanes los campos eléctrico y magnético tenían que ser cero. Sin embargo, las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de los campos tienen una solución que no requiere de la presencia de cargas o imanes. Esta solución tiene la forma de una onda que se propaga. Maxwell podía calcular su velocidad. Debió haber sido un momento de gran excitación cuando obtuvo el resultado por primera vez. Era un valor que conocía. No era una velocidad cualquiera. Era la velocidad de la luz. Y eso significaba que la luz era una onda electromagnética. Fue un avance de enorme importancia en la comprensión de su naturaleza. No solo eso, la teoría también predecía la existencia de ondas que hasta entonces eran desconocidas, como la radiación infrarroja o utravioleta, los rayos X, las ondas de radio, las microondas, etc.

La historia, sin embargo, no terminó aquí. El siglo xx trajo más novedades. La luz es una onda electromagnética, pero a veces también se comporta como un haz de partículas llamadas fotones. Se trata de la famosa dualidad onda-partícula de la mecánica cuántica. En función de estas partículas, la descripción de la interacción es ahora diferente. Ya no se trata de una fuerza a distancia como decía Coulomb ni de la acción de un campo como propuso Faraday. Según la electrodinámica cuántica, la interacción electromagnética se produce por el intercambio de fotones entre partículas cargadas. Las descripciones son muy diferentes entre sí, sin embargo las nuevas no invalidan por completo a las anteriores. Cada una de las nuevas descripciones satisface lo que se conoce como “principio de correspondencia”, es decir, la nueva teoría se reduce a una versión anterior, o es equivalente, en los casos en los que se sabe que la anterior es válida. Por este motivo, aunque la nueva descripción permita una comprensión más profunda de la naturaleza, también es conveniente conservar la vieja dado que en algunas situaciones puede ser más simple e igualmente válida. Es lo que sucede con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, que siguen y seguirán usándose en investigaciones sobre óptica.

Figura 4.12: Richard Feynman (1918-1988) y uno de sus diagramas. Representa la interacción entre dos electrones (e⁻ ) a través del intercambio de un fotón representado por la línea ondulada. (Foto: Feynman en Fermilab, Wikimedia Commons.)

La electrodinámica cuántica, o QED por sus siglas en inglés, fue desarrollada hacia fines de la década de 1940. Hans Bethe, Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman y Freeman Dyson están entre los que hicieron las principales contribuciones. Cualquier magnitud física que la teoría pueda predecir se escribe como una suma de términos. Aquí es donde aparece otra vez la constante de estructura fina, porque cada uno de los términos de esa suma está multiplicado por potencias: α, α², α³… Como α es un número pequeño, en general es posible cortar la serie a orden 3, es decir, sumando los dos primeros términos ya se pueden obtener resultados con buena precisión. En este contexto, α representa la intensidad de la interacción entre electrones y fotones, también llamada “constante de acoplamiento”.

Richard Feynman, en su libro Electrodinámica cuántica: la extraña teoría de la luz y la materia (1988), usa las siguientes palabras para describir la fascinación que produce α:

Hay una pregunta de lo más bella y profunda asociada al valor de la constante de acoplamiento. (...) (Ha sido un misterio desde que fue descubierto hace más de cincuenta años, y todos los buenos físicos teóricos cuelgan este número en la pared y se desvelan por él.)

Inmediatamente desean saber de dónde proviene este valor del acoplamiento: ¿está relacionado con pi o quizás con la base de los logaritmos naturales? Nadie lo sabe. Es uno de los más grandes condenados misterios de la física: un número mágico que llega a nosotros sin explicación. Podrían decir que “la mano de Dios” escribió ese número y “no sabemos como Él movió el lápiz”. ¡Sabemos al son de qué música bailar para medir experimentalmente este número con mucha precisión, pero no sabemos el son de la música para hacer que aparezca en una computadora sin haberlo introducido secretamente!

Una buena teoría diría que α es la raíz cuadrada de 3 o 2 por pi al cuadrado, o algo. Han habido, de tanto en tanto, sugerencias de lo que es α, pero ninguna ha sido útil.

Numerología

Muchos han intentado deducir el valor de α a partir de una ecuación que la relacione con otras constantes conocidas, incluso con la sección áurea. A medida que las técnicas experimentales progresan y se obtiene α con mayor precisión, esas ecuaciones son descartadas y reemplazadas por otras más complejas que, hasta ahora, no han contribuido a una mejor comprensión del origen de α.

El astrofísico Arthur Eddington (1882-1944), famoso por haber realizado una de las primeras confirmaciones experimentales de la relatividad general de Einstein, fue uno de los que cayeron atrapados en la fascinación de α. Desarrolló lo que llamaba una “teoría fundamental” basada en cantidades sin unidades relacionadas con constantes fundamentales de la física. La constante de estructura fina jugaba un rol importante en esa teoría. Las razones por las que estas cantidades toman los valores que tienen es uno de los temas que más preocupan a los físicos. Según Eddington, había argumentos epistemológicos y estéticos para afirmar que α era exactamente 1/136, en una época en que los resultados experimentales estaban cerca de ese valor. Mediciones más precisas indicaron luego que α era aproximadamente igual a 1/137. Eddington modificó entonces sus argumentos para decir que el valor de α debía ser exactamente 1/137. Esta volatilidad redujo la credibilidad de Eddington en la comunidad científica. Se dice que la revista satírica Punch lo llamaba “Sir Arthur Adding-One”. Otro que no tomó muy en serio esta controvertida faceta de Eddington fue Guido Beck[24], un físico teórico que nació en la actual república Checa en 1903 y murió en Rio de Janeiro en 1988. Beck vivió en Argentina entre 1943 y 1951 y entre 1963 y 1974. Estuvo en Brasil en el período 1951-1963 y luego de 1975. Participó en la fundación de la Asociación Física Argentina, en 1944, y tuvo una influencia enorme en la generación de físicos que se formaron en aquella época. En 1930 publicó un artículo en la revista alemana Die Naturwissenschaften, junto a H. Bethe (premio Nobel de Física en 1967) y W. Riezler. El texto publicado simulaba ser un artículo serio. La simulación fue lo suficientemente buena como para que se aceptara su publicación. Se trataba, sin embargo, de una parodia que no debió agradar a Eddington, por entonces uno de los físicos más importantes de Europa. El artículo, titulado Bemerkung zur Quantentheorie der Nullpunktstempertur (Comentario sobre la Teoría Cuántica del Cero Absoluto), comenzaba diciendo “Consideremos un cristal hexagonal”. El resto del artículo no hace referencia a que el cristal fuera hexagonal, y termina: “Es fácil convencerse de que nuestro resultado es independiente de la elección particular de la estructura cristalina”. Habla sobre los grados de libertad de los electrones. Una partícula puntual tiene tres grados de libertad porque puede moverse en tres direcciones perpendiculares. Una molécula tiene más grados de libertad, porque también puede rotar con el eje en distintas direcciones. El artículo cita a Eddington diciendo, sin justificación alguna, que los electrones tienen 1/α=137 grados de libertad y, en cierto punto, Beck y sus amigos hacen algunos malabares para terminar igualando grados de libertad con grados de temperatura para relacionar α con la temperatura del cero absoluto (−273°C). El artículo era un disparate que logró engañar a algunos. Según cuenta D. R. Bes (1989) en la revista Ciencia Hoy, un físico alemán escribió enfurecido al editor quejándose de que había perdido una semana de trabajo tratando de entender algo que, al final, resultó ser una broma. El editor exigió una disculpa a los autores. Beck, Bethe y Riezler se disculparon diciendo que no habían pensado que alguien podía ser tan tonto como para dedicar una semana a analizar el artículo. La disculpa no fue publicada. Cuando, en 1967, Beck telefoneó a Bethe para felicitarlo por la obtención del premio Nobel, se presentó a la secretaria como el coautor del trabajo más importante de Bethe. Luego recordaron, divertidos, la broma de su viejo artículo.

Otras constantes

La constante de estructura fina es la más conocida constante física fundamental sin unidades, pero hay otras. El modelo estándar, la teoría que ha logrado describir con notable éxito las interacciones electromagnéticas y las nucleares débil y fuerte, incluye otras constantes. Además de α, también se tiene la constante de acoplamiento de la interacción nuclear fuerte, 15 valores de masas de partículas elementales y otros parámetros asociados a oscilaciones. La interacción gravitatoria, no incluida en el modelo estándar, agregaría una constante más. Dado que no se dispone de una teoría que unifique el modelo estándar, que es una teoría cuántica de campos, con la interacción gravitatoria, que corresponde a la relatividad general, existe la sensación en la comunidad de físicos que las teorías actuales tienen cierto grado de precariedad. Algún día deberían ser reemplazadas por una mejor. La cantidad de constantes fundamentales que tendría esa teoría es aún, por supuesto, un misterio, pero se espera que sea menor que la actual.

Comparación entre ϕ y α

La sección áurea y la constante de estructura fina tienen similitudes. Ambos son números sin unidades que forman parte de la base de teorías que pretenden describir el universo. La constante de estructura fina es un ingrediente fundamental del modelo estándar. La sección áurea ha sido propuesta como la medida que subyace oculta en la organización del universo. También comparten cierto origen en apariencia misterioso que ha motivado el título de este capítulo.

Pero las diferencias son más importante que las similitudes. La constante de estructura fina se mide y se conoce con un número grande pero limitado de cifras:

                                           α=1/137,03599911...

La sección áurea, en cambio, se obtiene como solución de una ecuación sencilla con la precisión que uno desee:

Φ= (√5 + 1)/2=1,618033989…

Según el método científico, la forma de determinar la validez de una teoría es la comprobación experimental. Hasta el momento, los experimentos realizados validan el modelo estándar y la relevancia que la constante de estructura fina tiene en las interacciones electromagnéticas.

Por otro lado, la sección áurea aparece en la forma en que se acomodan las semillas de algunas plantas o en el ángulo entre hojas sucesivas. Sin embargo, mediciones sencillas muestran que otras afirmaciones sobre la sección áurea son erróneas, como el caso del caracol nautilo o la ubicación del ombligo. La aparición de ϕ en algunas plantas no es un misterio. Puede explicarse usando el mecanismo de selección natural. Las semillas tienden a acomodarse en espirales porque es la forma en que se optimiza su distribución en un área circular partiendo del centro. Las hojas surgen a ángulos que tienen relación con la sección áurea porque de esta forma se optimiza la captación de luz solar. La filotaxis de Fibonacci es un aspecto curioso y notable de la naturaleza, pero no es suficiente para afirmar que la sección áurea subyace en la estructura del universo.

Todavía no existe una teoría física que pueda explicar por qué la constante de estructura fina tiene el valor que tiene. Se cree que, si algún día el misterio se resuelve, se podrá comprender mejor por qué el universo es como es. Mientras tanto, la constante de estructura fina (junto con algunas otras constantes) continuará siendo uno de los más grandes misterios de la naturaleza.

Bibliografía

Máquinas de movimiento perpetuo

V. M. Brodianski, Móvil perpetuo, antes y ahora, Moscú: Mir, 1990.

Un clásico sobre el tema, extenso y detallado, y uno de los pocos que puede conseguirse en español gracias a las traducciones de la editorial Mir.

Martin Gardner, La Nueva Era, Madrid: Alianza Editorial, 1990.

Gardner, el excelente divulgador que durante muchos años escribió una columna en la revista Scientific American y otra en Skeptical Inquirer, incluye en este libro un entretenido capítulo sobre movimiento perpetuo.

Fernando Salvador, El movimiento continuo en Física, nros. 3 a 12, Buenos Aires, 1986-89.

Salvador es el referente a nivel local sobre movimiento perpetuo. Realizó una extensa investigación sobre patentes de movimiento perpetuo en Argentina. Su trabajo no ha sido publicado aún en forma completa, salvo por los artículos en la revista Física, de la UBA. Textos suyos, difíciles de conseguir, son La Utopía es parte de la Realidad, Crónica de la Búsqueda del Movimiento Continuo en la Argentina y Argentine Perpetual Motion Patents.

John Sladek, The New Apocrypha, a guide to strange sciences and occult beliefs, Granada Publishing Ltd., 1978.

Sladek, conocido autor de novelas de ciencia ficción, escribió este notable ensayo de crítica a las seudociencias. El capítulo dedicado al movimiento perpetuo puede encontrarse traducido al castellano en la revista Péndulo Nro. 9 (1982).

Relatividad

George Gamow, El Breviario del señor Tompkins, Fondo De Cultura Económica USA, 2005 (versión original de 1940-45).

Los libros de divulgación de Gamow conservan la frescura y la vigencia a pesar del paso de las décadas. Siguen siendo una excelente y amena introducción a la física moderna, con toques de humor. El breviario contiene dos libros originalmente publicados en forma separada: El Sr. Tompkins en el país de las maravillas y El Sr. Tompkins explora el átomo.

Albert Einstein y Leopold Infeld, La evolución de la física, Salvat, 1993.

Este libro también es un clásico de la divulgación de la física moderna, con una perspectiva histórica. Tiene como valor adicional a Einstein como uno de sus autores. No tiene el tono humorístico de Gamow. En cambio, profundiza más en algunos temas manteniendo como objetivo al lector medio, no experto.

Antony Searle y Craig Savage, Through Einstein’s Eyes Online, The Australian National University, http://www.anu.edu.au/Physics/Savage/TEE/.

A través de los ojos de Einstein, un excelente sitio de Internet sobre óptica relativista donde pueden encontrarse impresionantes animaciones hechas con computadora de un mundo como el del Sr. Tompkins, donde la velocidad de la luz es mucho menor que lo normal. No se pierdan la montaña rusa relativista.

Caos

James Gleick, Caos: La creación de una ciencia, Editorial Crítica, 2012.

Un clásico de la divulgación científica sobre el caos. Fue publicado por primera vez, en inglés, en 1987. Entonces produjo un gran impacto en el público. Desde hace algunos años está disponible también en español.

Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Nueva York: W. H. Freeman, 1982

La geometría fractal de la naturaleza lamentablemente no está disponible en español. Es un clásico sobre fractales, escrito para todo público, aunque algunas secciones son algo complejas. Trata sobre esos objetos extraños, de complejidad infinita, que aparecen en distintos contextos. Su observación en dinámica caótica es solo uno de ellos.

Gabriel Mindlin, Causas y azares, la historia del caos y de los sistemas complejos, Buenos Aires: Siglo XXI (colección “Ciencia que ladra...”), 2008.

Mindlin es uno de los más destacados especialistas argentinos en dinámica no lineal. En este claro y ameno libro, ideal para introducirse en el tema, habla sobre caos, sobre los extraños comportamientos de los sistemas complejos y sobre el enorme campo de las posibles aplicaciones de estas teorías que incluye, por ejemplo, el estudio del canto de las aves.

Números mágicos

Richard Feynman, Electrodinámica cuántica: la extraña teoría de la luz y la materia, Alianza Editorial, 1988.

La mayoría de los que han estudiado física en la universidad han disfrutado de los excelentes libros de Feynman sobre física básica. También ha escrito libros sobre física avanzada. El que menciono aquí es la introducción a la electrodinámica cuántica, donde Feynman demuestra su extraordinario talento para explicar conceptos difíciles al público general. La constante de estructura fina juega un rol fundamental en esta teoría.

George Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio, College Mathematics Journal, vol. 23, p. 2-19, 1992.

Es un artículo brillante donde se analiza el supuesto uso de la sección áurea en obras arquitectónicas de la Antigüedad, obras de arte y obras literarias. Como dice al inicio, gran parte de la desinformación acerca de este tema tiene su origen en la repetición acrítica de los mismos errores por distintos autores.

J. P. McEvoy y Oscar Zarate, Teoría cuántica para principiantes, Era Naciente, 2003.

Volumen de la colección “Para principiantes” que describe en forma clara y amena el desarrollo de las ideas que llevaron a la teoría cuántica, con gran cantidad de ilustraciones. La calidad de impresión y encuadernación no debe hacer dudar sobre el buen nivel del contenido.

[1] En lenguaje técnico, cuando la acción es mucho mayor que la constante de Planck, un resultado conocido como teorema de Ehrenfest.

[2] Cita Nro. 97 en Leonardo da Vinci (trad. M. Baring, ed. L. Einstein, 2012), Thoughts on Art and Life by Leonardo da Vinci.

[3] Cita Nro. 99 en Leonardo da Vinci (trad. M. Baring, ed. L. Einstein, 2012), Thoughts on Art and Life by Leonardo da Vinci.

[4] Robert Fludd (1624), De Naturae Simia, citado en Dircks (1861, p. 305), Perpetuum Mobile; or search for self-motive power during the 17th, 18th and 19 Centuries, Londres: Spon.

[5] J. Wilkins, Mathematical Magik, citado en Dircks (1861, p. 7), Perpetuum Mobile; or search for self-motive power during the 17th, 18th and 19 Centuries, Londres: Spon.

[6]  R. Penrose (1959), The Apparent Shape of a Relativistically Moving Sphere, Proc. Camb. Phil. Soc. 55, 137; J. Terrell (1959), Invisibility of the Lorentz contraction, Physical Review 116, 1041; V. Weisskopf (1960), The Visual Appearance of Rapidly Moving Objects, Physics Today 13, 24, Sept.

[7] C. M. Danforth (2013), Chaos in an Atmosphere Hanging on a Wall en Mathematics of Planet Earth 2013.

[8] D. Rawlins (1999), “British Neptune Disaster File Recovered”, DIO, the International Journal of Scientific History 9(1), p. 5.

[9] James Clerk Maxwell (1879), Matter and Motion, Cambridge University Press 2010, p. 20.

[10] Ver Frank Steiner (1994), “Quantum Chaos”, en R. Ansorge, Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahrestag der Universität Hamburg 1994, Berlin: Reimer, p. 542-564.

[11] Un valor típico del exponente de Lyapunov máximo para el estadio de Bunimovich es 0.4 (adimensional), ver G. Benettin y J. M. Strelcyn (1978), Numerical experiments on the free motion of a point mass moving in a plane convex region: Stochastic transition and entropy, Physical Review A 17, 773. Este número mide la tasa de divergencia de la mayoría de las trayectorias, o sea, cuánto se separan entre sí por unidad de tiempo. Considerando las unidades correspondientes a un radio de curvatura en los extremos de 0.25 m y una velocidad de 1 m/s, se puede calcular que el exponente es λ=1 s, también se ha considerado que la parte sin curvatura tiene longitud igual a un radio. La imprecisión en la posición, δx, luego de un tiempo t, partiendo de δx₀  a tiempo 0, se puede estimar con δx = eλt δx₀. Suponiendo que δx=0,4 m y t=15 s, se obtiene δx₀≃10-7 m.

[12] La suposición de que el proyecto no hizo mucho dinero aparece en D. Berreby (1993), Chaos Hits Wall Street, revista Discover, marzo. En un reportaje realizado a uno de los líderes del grupo, D. Farmer, se afirma que “Farmer no dirá cuánto ganaron”, ver P. Gwynne (2001), Physicist who makes cash from chaos, Physics World, octubre, p. 9.

[13] En otros textos se puede encontrar que la ley del resorte se escribe con un signo menos: F=−kx. El signo indica que la fuerza que realiza el resorte se opone al desplazamiento o estiramiento. En nuestro caso solo se tiene en cuenta la relación entre magnitudes absolutas.

[14] T. Matsumoto, L. O. Chua y M. Komuro (1985), IEEE Trans. Circuits Syst. 23, 798.

[15] R. May (1976), Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261(5560), p. 459.

[16] W. A. Barnett y A. Serletis (2000), Martingales, nonlinearity, and chaos, Journal of Economic Dynamics and Control 24(5-7), p. 703.

[17] P. Gwynne (2001), Physicist who makes cash from chaos, Physics World, octubre, p. 9.

[18] O los números de Hemachandra. Acharya Hemachandra, erudito y poeta de la India del siglo xii, estudió la serie unos 50 años antes que Fibonacci. Ver Parmanand Singh (1985), The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India, Historia Math., 12(3):229-244; o R. W. Hall (2008), Math for poets and drummers, Math Horizons 15, 10-11.

[19] A. Zeising (1854), Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers, Leipzig, prefacio.

[20] Ver, por ejemplo, Doug Yanega (1996), Sex ratio and sex allocation in sweat bees (Hymenoptera: Halictidae), Journal of Kansas Entomology Society, vol. 69 Supplement, p. 98-115.

[21] Ver, por ejemplo, John Sharp (2002), Spirals and the Golden Section, Nexus Network Journal, vol. 4, no. 1.

[22] S. Douady e Y. Couder (1992), Phyllotaxis as a Physical Self-Organized Growth Process, en Physical Review Letters, vol. 68, p. 2098.

[23] Paul M. Sommers, Lori K. Calise, Tamara M. Caruso y John B. Cunningham (1992), The Golden Midd, Journal of Recreational Mathematics, vol. 24(1), p. 26-29.

[24] A. A. De Abren, E. Candotti, A. López Dávalos, D. R. Bes (1989), “Don Guido: Físico, Maestro... y Gaucho”, en Ciencia Hoy, vol. 1, nro. 2, febrero/marzo.